Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114640 / 18220
↖ ↑ ↗
← N 78.181838°
E134.868164°		 ← 62.55 m → N 78.181838°
E134.870911°		 →
↑
62.56 m
↓
↑
62.56 m
↓
N 78.181275°
E134.868164°		 ← 62.56 m →
3 914 m²		 N 78.181275°
E134.870911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874637603759766 y=0.139011383056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874637603759766 × 217)
    floor (0.874637603759766 × 131072)
    floor (114640.5)     		tx = 114640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139011383056641 × 217)
    floor (0.139011383056641 × 131072)
    floor (18220.5)     		ty = 18220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114640 / 18220 ti = "17/114640/18220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114640/18220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114640 ÷ 217
    114640 ÷ 131072     		x = 0.8746337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18220 ÷ 217
    18220 ÷ 131072     		y = 0.139007568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8746337890625 × 2 - 1) × π
    0.749267578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.35389352
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139007568359375 × 2 - 1) × π
    0.72198486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.26818234242258
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35389352} λ = 2.35389352}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26818234242258))-π/2
    2×atan(9.66182295793952)-π/2
    2×1.46766340650582-π/2
    2.93532681301164-1.57079632675     		φ = 1.36453049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35389352} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.868164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36453049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.181838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114640 KachelY 18220 2.35389352 1.36453049 134.868164 78.181838
    Oben rechts KachelX + 1 114641 KachelY 18220 2.35394146 1.36453049 134.870911 78.181838
    Unten links KachelX 114640 KachelY + 1 18221 2.35389352 1.36452067 134.868164 78.181275
    Unten rechts KachelX + 1 114641 KachelY + 1 18221 2.35394146 1.36452067 134.870911 78.181275
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36453049-1.36452067) × R
    9.81999999982719e-06 × 6371000     		dl = 62.563219998899m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36453049-1.36452067) × R
    9.81999999982719e-06 × 6371000     		dr = 62.563219998899m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35389352-2.35394146) × cos(1.36453049) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204806327900294 × 6371000     		do = 62.5531242555891m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35389352-2.35394146) × cos(1.36452067) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20481593973114 × 6371000     		du = 62.5560599561378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36453049)-sin(1.36452067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204806327900294-0.20481593973114)×R²
    abs(2.35394146-2.35389352)×9.61183084549622e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.61183084549622e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.61183084549622e-06×40589641000000     		ar = 3913.61670789922m²