Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114635 / 18327
↖ ↑ ↗
← N 78.121497°
E134.854431°		 ← 62.87 m → N 78.121497°
E134.857178°		 →
↑
62.82 m
↓
↑
62.82 m
↓
N 78.120932°
E134.854431°		 ← 62.87 m →
3 949 m²		 N 78.120932°
E134.857178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114635 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874599456787109 y=0.139827728271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874599456787109 × 217)
    floor (0.874599456787109 × 131072)
    floor (114635.5)     		tx = 114635
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139827728271484 × 217)
    floor (0.139827728271484 × 131072)
    floor (18327.5)     		ty = 18327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114635 / 18327 ti = "17/114635/18327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114635/18327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114635 ÷ 217
    114635 ÷ 131072     		x = 0.874595642089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18327 ÷ 217
    18327 ÷ 131072     		y = 0.139823913574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874595642089844 × 2 - 1) × π
    0.749191284179688 × 3.1415926535     		Λ = 2.35365383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139823913574219 × 2 - 1) × π
    0.720352172851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.26305309416323
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35365383} λ = 2.35365383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26305309416323))-π/2
    2×atan(9.61239194968102)-π/2
    2×1.46713683461626-π/2
    2.93427366923251-1.57079632675     		φ = 1.36347734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35365383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.854431°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36347734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.121497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114635 KachelY 18327 2.35365383 1.36347734 134.854431 78.121497
    Oben rechts KachelX + 1 114636 KachelY 18327 2.35370177 1.36347734 134.857178 78.121497
    Unten links KachelX 114635 KachelY + 1 18328 2.35365383 1.36346748 134.854431 78.120932
    Unten rechts KachelX + 1 114636 KachelY + 1 18328 2.35370177 1.36346748 134.857178 78.120932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36347734-1.36346748) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dl = 62.8180600001795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36347734-1.36346748) × R
    9.86000000002818e-06 × 6371000     		dr = 62.8180600001795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35365383-2.35370177) × cos(1.36347734) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205837040003042 × 6371000     		do = 62.8679302622975m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35365383-2.35370177) × cos(1.36346748) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.205846688853785 × 6371000     		du = 62.8708772696758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36347734)-sin(1.36346748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.205837040003042-0.205846688853785)×R²
    abs(2.35370177-2.35365383)×9.64885074297706e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.64885074297706e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.64885074297706e-06×40589641000000     		ar = 3949.33397805725m²