Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114621 / 18129
↖ ↑ ↗
← N 78.232918°
E134.815979°		 ← 62.27 m → N 78.232918°
E134.818725°		 →
↑
62.31 m
↓
↑
62.31 m
↓
N 78.232358°
E134.815979°		 ← 62.28 m →
3 880 m²		 N 78.232358°
E134.818725°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874492645263672 y=0.138317108154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874492645263672 × 217)
    floor (0.874492645263672 × 131072)
    floor (114621.5)     		tx = 114621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138317108154297 × 217)
    floor (0.138317108154297 × 131072)
    floor (18129.5)     		ty = 18129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114621 / 18129 ti = "17/114621/18129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114621/18129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114621 ÷ 217
    114621 ÷ 131072     		x = 0.874488830566406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18129 ÷ 217
    18129 ÷ 131072     		y = 0.138313293457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874488830566406 × 2 - 1) × π
    0.748977661132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.35298272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138313293457031 × 2 - 1) × π
    0.723373413085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.272544600288
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35298272} λ = 2.35298272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.272544600288))-π/2
    2×atan(9.70406238378376)-π/2
    2×1.46810916314144-π/2
    2.93621832628288-1.57079632675     		φ = 1.36542200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35298272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.815979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36542200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.232918°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114621 KachelY 18129 2.35298272 1.36542200 134.815979 78.232918
    Oben rechts KachelX + 1 114622 KachelY 18129 2.35303065 1.36542200 134.818725 78.232918
    Unten links KachelX 114621 KachelY + 1 18130 2.35298272 1.36541222 134.815979 78.232358
    Unten rechts KachelX + 1 114622 KachelY + 1 18130 2.35303065 1.36541222 134.818725 78.232358
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36542200-1.36541222) × R
    9.77999999984824e-06 × 6371000     		dl = 62.3083799990332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36542200-1.36541222) × R
    9.77999999984824e-06 × 6371000     		dr = 62.3083799990332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35298272-2.35303065) × cos(1.36542200) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203933634394592 × 6371000     		do = 62.2735885840485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35298272-2.35303065) × cos(1.36541222) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203943208855354 × 6371000     		du = 62.276512260823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36542200)-sin(1.36541222))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203933634394592-0.203943208855354)×R²
    abs(2.35303065-2.35298272)×9.57446076221835e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.57446076221835e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.57446076221835e-06×40589641000000     		ar = 3880.25750626298m²