Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114616 / 18151
↖ ↑ ↗
← N 78.220589°
E134.802246°		 ← 62.35 m → N 78.220589°
E134.804993°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.220028°
E134.802246°		 ← 62.35 m →
3 889 m²		 N 78.220028°
E134.804993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874454498291016 y=0.138484954833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874454498291016 × 217)
    floor (0.874454498291016 × 131072)
    floor (114616.5)     		tx = 114616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138484954833984 × 217)
    floor (0.138484954833984 × 131072)
    floor (18151.5)     		ty = 18151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114616 / 18151 ti = "17/114616/18151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114616/18151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114616 ÷ 217
    114616 ÷ 131072     		x = 0.87445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18151 ÷ 217
    18151 ÷ 131072     		y = 0.138481140136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87445068359375 × 2 - 1) × π
    0.7489013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35274303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138481140136719 × 2 - 1) × π
    0.723037719726562 × 3.1415926535     		Φ = 2.27148998849636
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35274303} λ = 2.35274303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27148998849636))-π/2
    2×atan(9.6938337597288)-π/2
    2×1.46800157220272-π/2
    2.93600314440544-1.57079632675     		φ = 1.36520682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35274303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36520682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.220589°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114616 KachelY 18151 2.35274303 1.36520682 134.802246 78.220589
    Oben rechts KachelX + 1 114617 KachelY 18151 2.35279097 1.36520682 134.804993 78.220589
    Unten links KachelX 114616 KachelY + 1 18152 2.35274303 1.36519703 134.802246 78.220028
    Unten rechts KachelX + 1 114617 KachelY + 1 18152 2.35279097 1.36519703 134.804993 78.220028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36520682-1.36519703) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dl = 62.3720900000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36520682-1.36519703) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dr = 62.3720900000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35274303-2.35279097) × cos(1.36520682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20414428760269 × 6371000     		do = 62.3509201077834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35274303-2.35279097) × cos(1.36519703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204153871423438 × 6371000     		du = 62.3538472533275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36520682)-sin(1.36519703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20414428760269-0.204153871423438)×R²
    abs(2.35279097-2.35274303)×9.58382074850439e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.58382074850439e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.58382074850439e-06×40589641000000     		ar = 3889.04848669785m²