Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114616 / 18135
↖ ↑ ↗
← N 78.229557°
E134.802246°		 ← 62.30 m → N 78.229557°
E134.804993°		 →
↑
62.31 m
↓
↑
62.31 m
↓
N 78.228997°
E134.802246°		 ← 62.31 m →
3 882 m²		 N 78.228997°
E134.804993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874454498291016 y=0.138362884521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874454498291016 × 217)
    floor (0.874454498291016 × 131072)
    floor (114616.5)     		tx = 114616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138362884521484 × 217)
    floor (0.138362884521484 × 131072)
    floor (18135.5)     		ty = 18135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114616 / 18135 ti = "17/114616/18135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114616/18135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114616 ÷ 217
    114616 ÷ 131072     		x = 0.87445068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18135 ÷ 217
    18135 ÷ 131072     		y = 0.138359069824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87445068359375 × 2 - 1) × π
    0.7489013671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35274303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138359069824219 × 2 - 1) × π
    0.723281860351562 × 3.1415926535     		Φ = 2.27225697889028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35274303} λ = 2.35274303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27225697889028))-π/2
    2×atan(9.70127168914836)-π/2
    2×1.46807983117349-π/2
    2.93615966234699-1.57079632675     		φ = 1.36536334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35274303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.802246°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36536334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.229557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114616 KachelY 18135 2.35274303 1.36536334 134.802246 78.229557
    Oben rechts KachelX + 1 114617 KachelY 18135 2.35279097 1.36536334 134.804993 78.229557
    Unten links KachelX 114616 KachelY + 1 18136 2.35274303 1.36535356 134.802246 78.228997
    Unten rechts KachelX + 1 114617 KachelY + 1 18136 2.35279097 1.36535356 134.804993 78.228997
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36536334-1.36535356) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dl = 62.3083800004478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36536334-1.36535356) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dr = 62.3083800004478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35274303-2.35279097) × cos(1.36536334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20399106128709 × 6371000     		do = 62.304120846954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35274303-2.35279097) × cos(1.36535356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204000635630838 × 6371000     		du = 62.3070450979781m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36536334)-sin(1.36535356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20399106128709-0.204000635630838)×R²
    abs(2.35279097-2.35274303)×9.57434374757038e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.57434374757038e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.57434374757038e-06×40589641000000     		ar = 3882.15994014878m²