Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114615 / 18169
↖ ↑ ↗
← N 78.210492°
E134.799500°		 ← 62.39 m → N 78.210492°
E134.802246°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.209931°
E134.799500°		 ← 62.39 m →
3 892 m²		 N 78.209931°
E134.802246°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874446868896484 y=0.138622283935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874446868896484 × 217)
    floor (0.874446868896484 × 131072)
    floor (114615.5)     		tx = 114615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138622283935547 × 217)
    floor (0.138622283935547 × 131072)
    floor (18169.5)     		ty = 18169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114615 / 18169 ti = "17/114615/18169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114615/18169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114615 ÷ 217
    114615 ÷ 131072     		x = 0.874443054199219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18169 ÷ 217
    18169 ÷ 131072     		y = 0.138618469238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874443054199219 × 2 - 1) × π
    0.748886108398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.35269510
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138618469238281 × 2 - 1) × π
    0.722763061523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.2706271243032
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35269510} λ = 2.35269510}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2706271243032))-π/2
    2×atan(9.68547290534276)-π/2
    2×1.46791346059577-π/2
    2.93582692119155-1.57079632675     		φ = 1.36503059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35269510} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.799500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36503059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.210492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114615 KachelY 18169 2.35269510 1.36503059 134.799500 78.210492
    Oben rechts KachelX + 1 114616 KachelY 18169 2.35274303 1.36503059 134.802246 78.210492
    Unten links KachelX 114615 KachelY + 1 18170 2.35269510 1.36502080 134.799500 78.209931
    Unten rechts KachelX + 1 114616 KachelY + 1 18170 2.35274303 1.36502080 134.802246 78.209931
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36503059-1.36502080) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dl = 62.3720900000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36503059-1.36502080) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dr = 62.3720900000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35269510-2.35274303) × cos(1.36503059) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204316803170719 × 6371000     		do = 62.3905937793594m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35269510-2.35274303) × cos(1.36502080) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204326386639102 × 6371000     		du = 62.3935202067193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36503059)-sin(1.36502080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204316803170719-0.204326386639102)×R²
    abs(2.35274303-2.35269510)×9.5834683830065e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.5834683830065e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.5834683830065e-06×40589641000000     		ar = 3891.5229940754m²