Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114614 / 18119
↖ ↑ ↗
← N 78.238518°
E134.796753°		 ← 62.26 m → N 78.238518°
E134.799500°		 →
↑
62.31 m
↓
↑
62.31 m
↓
N 78.237958°
E134.796753°		 ← 62.26 m →
3 879 m²		 N 78.237958°
E134.799500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874439239501953 y=0.138240814208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874439239501953 × 217)
    floor (0.874439239501953 × 131072)
    floor (114614.5)     		tx = 114614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138240814208984 × 217)
    floor (0.138240814208984 × 131072)
    floor (18119.5)     		ty = 18119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114614 / 18119 ti = "17/114614/18119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114614/18119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114614 ÷ 217
    114614 ÷ 131072     		x = 0.874435424804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18119 ÷ 217
    18119 ÷ 131072     		y = 0.138236999511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874435424804688 × 2 - 1) × π
    0.748870849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.35264716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138236999511719 × 2 - 1) × π
    0.723526000976562 × 3.1415926535     		Φ = 2.2730239692842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35264716} λ = 2.35264716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2730239692842))-π/2
    2×atan(9.70871532557666)-π/2
    2×1.46815803140458-π/2
    2.93631606280916-1.57079632675     		φ = 1.36551974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35264716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.796753°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36551974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.238518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114614 KachelY 18119 2.35264716 1.36551974 134.796753 78.238518
    Oben rechts KachelX + 1 114615 KachelY 18119 2.35269510 1.36551974 134.799500 78.238518
    Unten links KachelX 114614 KachelY + 1 18120 2.35264716 1.36550996 134.796753 78.237958
    Unten rechts KachelX + 1 114615 KachelY + 1 18120 2.35269510 1.36550996 134.799500 78.237958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36551974-1.36550996) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dl = 62.3083800004478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36551974-1.36550996) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dr = 62.3083800004478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35264716-2.35269510) × cos(1.36551974) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203837947454572 × 6371000     		do = 62.257355941353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35264716-2.35269510) × cos(1.36550996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203847522110233 × 6371000     		du = 62.2602802876434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36551974)-sin(1.36550996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203837947454572-0.203847522110233)×R²
    abs(2.35269510-2.35264716)×9.57465566087112e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.57465566087112e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.57465566087112e-06×40589641000000     		ar = 3879.24609746693m²