Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114608 / 16337
↖ ↑ ↗
← N 79.195560°
E134.780274°		 ← 57.25 m → N 79.195560°
E134.783020°		 →
↑
57.28 m
↓
↑
57.28 m
↓
N 79.195045°
E134.780274°		 ← 57.26 m →
3 279 m²		 N 79.195045°
E134.783020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114608 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874393463134766 y=0.124645233154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874393463134766 × 217)
    floor (0.874393463134766 × 131072)
    floor (114608.5)     		tx = 114608
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124645233154297 × 217)
    floor (0.124645233154297 × 131072)
    floor (16337.5)     		ty = 16337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114608 / 16337 ti = "17/114608/16337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114608/16337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114608 ÷ 217
    114608 ÷ 131072     		x = 0.8743896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16337 ÷ 217
    16337 ÷ 131072     		y = 0.124641418457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8743896484375 × 2 - 1) × π
    0.748779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35235954
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124641418457031 × 2 - 1) × π
    0.750717163085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.35844752440714
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35235954} λ = 2.35235954}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35844752440714))-π/2
    2×atan(10.5745220152487)-π/2
    2×1.47650980258045-π/2
    2.95301960516089-1.57079632675     		φ = 1.38222328
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35235954} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.780274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38222328 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.195560°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114608 KachelY 16337 2.35235954 1.38222328 134.780274 79.195560
    Oben rechts KachelX + 1 114609 KachelY 16337 2.35240748 1.38222328 134.783020 79.195560
    Unten links KachelX 114608 KachelY + 1 16338 2.35235954 1.38221429 134.780274 79.195045
    Unten rechts KachelX + 1 114609 KachelY + 1 16338 2.35240748 1.38221429 134.783020 79.195045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38222328-1.38221429) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dl = 57.2752899999141m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38222328-1.38221429) × R
    8.98999999998651e-06 × 6371000     		dr = 57.2752899999141m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35235954-2.35240748) × cos(1.38222328) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187457429084541 × 6371000     		do = 57.2543239966058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35235954-2.35240748) × cos(1.38221429) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.187466259708791 × 6371000     		du = 57.257021096552m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38222328)-sin(1.38221429))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187457429084541-0.187466259708791)×R²
    abs(2.35240748-2.35235954)×8.83062424991699e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.83062424991699e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.83062424991699e-06×40589641000000     		ar = 3279.33524937419m²