Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114605 / 18139
↖ ↑ ↗
← N 78.227315°
E134.772034°		 ← 62.30 m → N 78.227315°
E134.774780°		 →
↑
62.31 m
↓
↑
62.31 m
↓
N 78.226755°
E134.772034°		 ← 62.31 m →
3 882 m²		 N 78.226755°
E134.774780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874370574951172 y=0.138393402099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874370574951172 × 217)
    floor (0.874370574951172 × 131072)
    floor (114605.5)     		tx = 114605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138393402099609 × 217)
    floor (0.138393402099609 × 131072)
    floor (18139.5)     		ty = 18139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114605 / 18139 ti = "17/114605/18139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114605/18139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114605 ÷ 217
    114605 ÷ 131072     		x = 0.874366760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18139 ÷ 217
    18139 ÷ 131072     		y = 0.138389587402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874366760253906 × 2 - 1) × π
    0.748733520507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.35221573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138389587402344 × 2 - 1) × π
    0.723220825195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.2720652312918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35221573} λ = 2.35221573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2720652312918))-π/2
    2×atan(9.69941167193238)-π/2
    2×1.46806027193929-π/2
    2.93612054387859-1.57079632675     		φ = 1.36532422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35221573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.772034°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36532422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.227315°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114605 KachelY 18139 2.35221573 1.36532422 134.772034 78.227315
    Oben rechts KachelX + 1 114606 KachelY 18139 2.35226366 1.36532422 134.774780 78.227315
    Unten links KachelX 114605 KachelY + 1 18140 2.35221573 1.36531444 134.772034 78.226755
    Unten rechts KachelX + 1 114606 KachelY + 1 18140 2.35226366 1.36531444 134.774780 78.226755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36532422-1.36531444) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dl = 62.3083800004478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36532422-1.36531444) × R
    9.78000000007029e-06 × 6371000     		dr = 62.3083800004478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35221573-2.35226366) × cos(1.36532422) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204029358545002 × 6371000     		do = 62.3028191049379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35221573-2.35226366) × cos(1.36531444) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204038932810695 × 6371000     		du = 62.3057427221456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36532422)-sin(1.36531444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204029358545002-0.204038932810695)×R²
    abs(2.35226366-2.35221573)×9.57426569273001e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.57426569273001e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.57426569273001e-06×40589641000000     		ar = 3882.07881082307m²