Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114604 / 18131
↖ ↑ ↗
← N 78.231798°
E134.769287°		 ← 62.29 m → N 78.231798°
E134.772034°		 →
↑
62.31 m
↓
↑
62.31 m
↓
N 78.231237°
E134.769287°		 ← 62.30 m →
3 881 m²		 N 78.231237°
E134.772034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114604 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874362945556641 y=0.138332366943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874362945556641 × 217)
    floor (0.874362945556641 × 131072)
    floor (114604.5)     		tx = 114604
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138332366943359 × 217)
    floor (0.138332366943359 × 131072)
    floor (18131.5)     		ty = 18131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114604 / 18131 ti = "17/114604/18131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114604/18131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114604 ÷ 217
    114604 ÷ 131072     		x = 0.874359130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18131 ÷ 217
    18131 ÷ 131072     		y = 0.138328552246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874359130859375 × 2 - 1) × π
    0.74871826171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.35216779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138328552246094 × 2 - 1) × π
    0.723342895507812 × 3.1415926535     		Φ = 2.27244872648876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35216779} λ = 2.35216779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27244872648876))-π/2
    2×atan(9.70313206305237)-π/2
    2×1.46809938673646-π/2
    2.93619877347292-1.57079632675     		φ = 1.36540245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35216779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.769287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36540245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.231798°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114604 KachelY 18131 2.35216779 1.36540245 134.769287 78.231798
    Oben rechts KachelX + 1 114605 KachelY 18131 2.35221573 1.36540245 134.772034 78.231798
    Unten links KachelX 114604 KachelY + 1 18132 2.35216779 1.36539267 134.769287 78.231237
    Unten rechts KachelX + 1 114605 KachelY + 1 18132 2.35221573 1.36539267 134.772034 78.231237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36540245-1.36539267) × R
    9.77999999984824e-06 × 6371000     		dl = 62.3083799990332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36540245-1.36539267) × R
    9.77999999984824e-06 × 6371000     		dr = 62.3083799990332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35216779-2.35221573) × cos(1.36540245) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203952773506802 × 6371000     		do = 62.2924267733267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35216779-2.35221573) × cos(1.36539267) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20396234792857 × 6371000     		du = 62.2953510481801m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36540245)-sin(1.36539267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203952773506802-0.20396234792857)×R²
    abs(2.35221573-2.35216779)×9.5744217675775e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.5744217675775e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.5744217675775e-06×40589641000000     		ar = 3881.4313018438m²