Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114603 / 16329
↖ ↑ ↗
← N 79.199678°
E134.766540°		 ← 57.23 m → N 79.199678°
E134.769287°		 →
↑
57.21 m
↓
↑
57.21 m
↓
N 79.199164°
E134.766540°		 ← 57.24 m →
3 274 m²		 N 79.199164°
E134.769287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114603 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874355316162109 y=0.124584197998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874355316162109 × 217)
    floor (0.874355316162109 × 131072)
    floor (114603.5)     		tx = 114603
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.124584197998047 × 217)
    floor (0.124584197998047 × 131072)
    floor (16329.5)     		ty = 16329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114603 / 16329 ti = "17/114603/16329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114603/16329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114603 ÷ 217
    114603 ÷ 131072     		x = 0.874351501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16329 ÷ 217
    16329 ÷ 131072     		y = 0.124580383300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874351501464844 × 2 - 1) × π
    0.748703002929688 × 3.1415926535     		Λ = 2.35211985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.124580383300781 × 2 - 1) × π
    0.750839233398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.3588310196041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35211985} λ = 2.35211985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.3588310196041))-π/2
    2×atan(10.578578071341)-π/2
    2×1.47654574032332-π/2
    2.95309148064665-1.57079632675     		φ = 1.38229515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35211985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.766540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38229515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.199678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114603 KachelY 16329 2.35211985 1.38229515 134.766540 79.199678
    Oben rechts KachelX + 1 114604 KachelY 16329 2.35216779 1.38229515 134.769287 79.199678
    Unten links KachelX 114603 KachelY + 1 16330 2.35211985 1.38228617 134.766540 79.199164
    Unten rechts KachelX + 1 114604 KachelY + 1 16330 2.35216779 1.38228617 134.769287 79.199164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38229515-1.38228617) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dl = 57.2115800003012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38229515-1.38228617) × R
    8.98000000004728e-06 × 6371000     		dr = 57.2115800003012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35211985-2.35216779) × cos(1.38229515) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.1873868326595 × 6371000     		do = 57.2327620317765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35211985-2.35216779) × cos(1.38228617) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.187395653582003 × 6371000     		du = 57.2354561685595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38229515)-sin(1.38228617))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.1873868326595-0.187395653582003)×R²
    abs(2.35216779-2.35211985)×8.82092250326094e-06×R²
    4.79400000004127e-05×8.82092250326094e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×8.82092250326094e-06×40589641000000     		ar = 3274.4538114844m²