Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114602 / 18150
↖ ↑ ↗
← N 78.221149°
E134.763794°		 ← 62.33 m → N 78.221149°
E134.766540°		 →
↑
62.31 m
↓
↑
62.31 m
↓
N 78.220589°
E134.763794°		 ← 62.34 m →
3 884 m²		 N 78.220589°
E134.766540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114602 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18150 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874347686767578 y=0.138477325439453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874347686767578 × 217)
    floor (0.874347686767578 × 131072)
    floor (114602.5)     		tx = 114602
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138477325439453 × 217)
    floor (0.138477325439453 × 131072)
    floor (18150.5)     		ty = 18150
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114602 / 18150 ti = "17/114602/18150"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114602/18150.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114602 ÷ 217
    114602 ÷ 131072     		x = 0.874343872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18150 ÷ 217
    18150 ÷ 131072     		y = 0.138473510742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874343872070312 × 2 - 1) × π
    0.748687744140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35207192
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138473510742188 × 2 - 1) × π
    0.723052978515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27153792539598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35207192} λ = 2.35207192}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27153792539598))-π/2
    2×atan(9.69429846320281)-π/2
    2×1.46800646511008-π/2
    2.93601293022017-1.57079632675     		φ = 1.36521660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35207192} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.763794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36521660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.221149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114602 KachelY 18150 2.35207192 1.36521660 134.763794 78.221149
    Oben rechts KachelX + 1 114603 KachelY 18150 2.35211985 1.36521660 134.766540 78.221149
    Unten links KachelX 114602 KachelY + 1 18151 2.35207192 1.36520682 134.763794 78.220589
    Unten rechts KachelX + 1 114603 KachelY + 1 18151 2.35211985 1.36520682 134.766540 78.220589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36521660-1.36520682) × R
    9.77999999984824e-06 × 6371000     		dl = 62.3083799990332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36521660-1.36520682) × R
    9.77999999984824e-06 × 6371000     		dr = 62.3083799990332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35207192-2.35211985) × cos(1.36521660) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.204134713551803 × 6371000     		do = 62.3349905231077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35207192-2.35211985) × cos(1.36520682) × R
    4.79299999995852e-05 × 0.20414428760269 × 6371000     		du = 62.3379140747217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36521660)-sin(1.36520682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204134713551803-0.20414428760269)×R²
    abs(2.35211985-2.35207192)×9.57405088630736e-06×R²
    4.79299999995852e-05×9.57405088630736e-06×6371000²
    4.79299999995852e-05×9.57405088630736e-06×40589641000000     		ar = 3884.08335769612m²