Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114601 / 18137
↖ ↑ ↗
← N 78.228436°
E134.761047°		 ← 62.31 m → N 78.228436°
E134.763794°		 →
↑
62.31 m
↓
↑
62.31 m
↓
N 78.227876°
E134.761047°		 ← 62.31 m →
3 883 m²		 N 78.227876°
E134.763794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114601 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874340057373047 y=0.138378143310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874340057373047 × 217)
    floor (0.874340057373047 × 131072)
    floor (114601.5)     		tx = 114601
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138378143310547 × 217)
    floor (0.138378143310547 × 131072)
    floor (18137.5)     		ty = 18137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114601 / 18137 ti = "17/114601/18137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114601/18137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114601 ÷ 217
    114601 ÷ 131072     		x = 0.874336242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18137 ÷ 217
    18137 ÷ 131072     		y = 0.138374328613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874336242675781 × 2 - 1) × π
    0.748672485351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.35202398
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138374328613281 × 2 - 1) × π
    0.723251342773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.27216110509104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35202398} λ = 2.35202398}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27216110509104))-π/2
    2×atan(9.70034163595864)-π/2
    2×1.46807005201534-π/2
    2.93614010403068-1.57079632675     		φ = 1.36534378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35202398} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.761047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36534378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.228436°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114601 KachelY 18137 2.35202398 1.36534378 134.761047 78.228436
    Oben rechts KachelX + 1 114602 KachelY 18137 2.35207192 1.36534378 134.763794 78.228436
    Unten links KachelX 114601 KachelY + 1 18138 2.35202398 1.36533400 134.761047 78.227876
    Unten rechts KachelX + 1 114602 KachelY + 1 18138 2.35207192 1.36533400 134.763794 78.227876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36534378-1.36533400) × R
    9.77999999984824e-06 × 6371000     		dl = 62.3083799990332m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36534378-1.36533400) × R
    9.77999999984824e-06 × 6371000     		dr = 62.3083799990332m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35202398-2.35207192) × cos(1.36534378) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.204010209955073 × 6371000     		do = 62.3099693436198m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35202398-2.35207192) × cos(1.36533400) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.204019784259795 × 6371000     		du = 62.3128935827245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36534378)-sin(1.36533400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204010209955073-0.204019784259795)×R²
    abs(2.35207192-2.35202398)×9.57430472176002e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.57430472176002e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.57430472176002e-06×40589641000000     		ar = 3882.52434985576m²