Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1146 / 1194
↖ ↑ ↗
← S 28.613460°
E 21.445312°		 ← 17.159 km → S 28.613460°
E 21.621094°		 →
↑
17.146 km
↓
↑
17.146 km
↓
S 28.767659°
E 21.445312°		 ← 17.134 km →
293.993 km²		 S 28.767659°
E 21.621094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559814453125 y=0.583251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559814453125 × 211)
    floor (0.559814453125 × 2048)
    floor (1146.5)     		tx = 1146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583251953125 × 211)
    floor (0.583251953125 × 2048)
    floor (1194.5)     		ty = 1194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1146 / 1194 ti = "11/1146/1194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1146/1194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1146 ÷ 211
    1146 ÷ 2048     		x = 0.5595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1194 ÷ 211
    1194 ÷ 2048     		y = 0.5830078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5595703125 × 2 - 1) × π
    0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5830078125 × 2 - 1) × π
    -0.166015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.521553467866211
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37429131} λ = 0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.521553467866211))-π/2
    2×atan(0.593597696398841)-π/2
    2×0.535698624736653-π/2
    1.07139724947331-1.57079632675     		φ = -0.49939908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49939908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.613460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1146 KachelY 1194 0.37429131 -0.49939908 21.445312 -28.613460
    Oben rechts KachelX + 1 1147 KachelY 1194 0.37735927 -0.49939908 21.621094 -28.613460
    Unten links KachelX 1146 KachelY + 1 1195 0.37429131 -0.50209037 21.445312 -28.767659
    Unten rechts KachelX + 1 1147 KachelY + 1 1195 0.37735927 -0.50209037 21.621094 -28.767659
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49939908--0.50209037) × R
    0.00269129000000001 × 6371000     		dl = 17146.2085900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49939908--0.50209037) × R
    0.00269129000000001 × 6371000     		dr = 17146.2085900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37429131-0.37735927) × cos(-0.49939908) × R
    0.00306796000000004 × 0.877870499818039 × 6371000     		do = 17158.8332273994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37429131-0.37735927) × cos(-0.50209037) × R
    0.00306796000000004 × 0.876578468494909 × 6371000     		du = 17133.5792178356m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49939908)-sin(-0.50209037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877870499818039-0.876578468494909)×R²
    abs(0.37735927-0.37429131)×0.00129203132312916×R²
    0.00306796000000004×0.00129203132312916×6371000²
    0.00306796000000004×0.00129203132312916×40589641000000     		ar = 293992605.87024m²