Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114599 / 18159
↖ ↑ ↗
← N 78.216102°
E134.755554°		 ← 62.36 m → N 78.216102°
E134.758301°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.215541°
E134.755554°		 ← 62.36 m →
3 890 m²		 N 78.215541°
E134.758301°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114599 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874324798583984 y=0.138545989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874324798583984 × 217)
    floor (0.874324798583984 × 131072)
    floor (114599.5)     		tx = 114599
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138545989990234 × 217)
    floor (0.138545989990234 × 131072)
    floor (18159.5)     		ty = 18159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114599 / 18159 ti = "17/114599/18159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114599/18159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114599 ÷ 217
    114599 ÷ 131072     		x = 0.874320983886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18159 ÷ 217
    18159 ÷ 131072     		y = 0.138542175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874320983886719 × 2 - 1) × π
    0.748641967773438 × 3.1415926535     		Λ = 2.35192811
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138542175292969 × 2 - 1) × π
    0.722915649414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.2711064932994
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35192811} λ = 2.35192811}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2711064932994))-π/2
    2×atan(9.69011693377981)-π/2
    2×1.46796242067677-π/2
    2.93592484135353-1.57079632675     		φ = 1.36512851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35192811} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.755554°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36512851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.216102°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114599 KachelY 18159 2.35192811 1.36512851 134.755554 78.216102
    Oben rechts KachelX + 1 114600 KachelY 18159 2.35197604 1.36512851 134.758301 78.216102
    Unten links KachelX 114599 KachelY + 1 18160 2.35192811 1.36511872 134.755554 78.215541
    Unten rechts KachelX + 1 114600 KachelY + 1 18160 2.35197604 1.36511872 134.758301 78.215541
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36512851-1.36511872) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dl = 62.3720900000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36512851-1.36511872) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dr = 62.3720900000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35192811-2.35197604) × cos(1.36512851) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204220947831504 × 6371000     		do = 62.3613231983902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35192811-2.35197604) × cos(1.36511872) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204230531495711 × 6371000     		du = 62.3642496855474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36512851)-sin(1.36511872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204220947831504-0.204230531495711)×R²
    abs(2.35197604-2.35192811)×9.58366420722445e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.58366420722445e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.58366420722445e-06×40589641000000     		ar = 3889.697328685m²