Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114597 / 18164
↖ ↑ ↗
← N 78.213297°
E134.750061°		 ← 62.39 m → N 78.213297°
E134.752808°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.212737°
E134.750061°		 ← 62.39 m →
3 891 m²		 N 78.212737°
E134.752808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114597 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874309539794922 y=0.138584136962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874309539794922 × 217)
    floor (0.874309539794922 × 131072)
    floor (114597.5)     		tx = 114597
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138584136962891 × 217)
    floor (0.138584136962891 × 131072)
    floor (18164.5)     		ty = 18164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114597 / 18164 ti = "17/114597/18164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114597/18164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114597 ÷ 217
    114597 ÷ 131072     		x = 0.874305725097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18164 ÷ 217
    18164 ÷ 131072     		y = 0.138580322265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874305725097656 × 2 - 1) × π
    0.748611450195312 × 3.1415926535     		Λ = 2.35183223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138580322265625 × 2 - 1) × π
    0.72283935546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.2708668088013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35183223} λ = 2.35183223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2708668088013))-π/2
    2×atan(9.68779464128588)-π/2
    2×1.46793794350816-π/2
    2.93587588701631-1.57079632675     		φ = 1.36507956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35183223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.750061°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36507956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.213297°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114597 KachelY 18164 2.35183223 1.36507956 134.750061 78.213297
    Oben rechts KachelX + 1 114598 KachelY 18164 2.35188017 1.36507956 134.752808 78.213297
    Unten links KachelX 114597 KachelY + 1 18165 2.35183223 1.36506977 134.750061 78.212737
    Unten rechts KachelX + 1 114598 KachelY + 1 18165 2.35188017 1.36506977 134.752808 78.212737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36507956-1.36506977) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dl = 62.3720900000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36507956-1.36506977) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dr = 62.3720900000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35183223-2.35188017) × cos(1.36507956) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204268865956788 × 6371000     		do = 62.3889695437718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35183223-2.35188017) × cos(1.36506977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204278449523114 × 6371000     		du = 62.3918966116089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36507956)-sin(1.36506977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204268865956788-0.204278449523114)×R²
    abs(2.35188017-2.35183223)×9.58356632660418e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.58356632660418e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.58356632660418e-06×40589641000000     		ar = 3891.42170713505m²