Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114596 / 18156
↖ ↑ ↗
← N 78.217785°
E134.747315°		 ← 62.35 m → N 78.217785°
E134.750061°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.217224°
E134.747315°		 ← 62.36 m →
3 889 m²		 N 78.217224°
E134.750061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114596 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874301910400391 y=0.138523101806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874301910400391 × 217)
    floor (0.874301910400391 × 131072)
    floor (114596.5)     		tx = 114596
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138523101806641 × 217)
    floor (0.138523101806641 × 131072)
    floor (18156.5)     		ty = 18156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114596 / 18156 ti = "17/114596/18156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114596/18156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114596 ÷ 217
    114596 ÷ 131072     		x = 0.874298095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18156 ÷ 217
    18156 ÷ 131072     		y = 0.138519287109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874298095703125 × 2 - 1) × π
    0.74859619140625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35178430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138519287109375 × 2 - 1) × π
    0.72296142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27125030399826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35178430} λ = 2.35178430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27125030399826))-π/2
    2×atan(9.69151057647606)-π/2
    2×1.46797710422146-π/2
    2.93595420844292-1.57079632675     		φ = 1.36515788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35178430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.747315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36515788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.217785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114596 KachelY 18156 2.35178430 1.36515788 134.747315 78.217785
    Oben rechts KachelX + 1 114597 KachelY 18156 2.35183223 1.36515788 134.750061 78.217785
    Unten links KachelX 114596 KachelY + 1 18157 2.35178430 1.36514809 134.747315 78.217224
    Unten rechts KachelX + 1 114597 KachelY + 1 18157 2.35183223 1.36514809 134.750061 78.217224
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36515788-1.36514809) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dl = 62.3720900000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36515788-1.36514809) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dr = 62.3720900000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35178430-2.35183223) × cos(1.36515788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.204192196721445 × 6371000     		do = 62.3525437010581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35178430-2.35183223) × cos(1.36514809) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.20420178044437 × 6371000     		du = 62.3554702061453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36515788)-sin(1.36514809))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204192196721445-0.20420178044437)×R²
    abs(2.35183223-2.35178430)×9.58372292458876e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.58372292458876e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.58372292458876e-06×40589641000000     		ar = 3889.14973367164m²