Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114595 / 18141
↖ ↑ ↗
← N 78.226195°
E134.744568°		 ← 62.32 m → N 78.226195°
E134.747315°		 →
↑
62.37 m
↓
↑
62.37 m
↓
N 78.225634°
E134.744568°		 ← 62.32 m →
3 887 m²		 N 78.225634°
E134.747315°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114595 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874294281005859 y=0.138408660888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874294281005859 × 217)
    floor (0.874294281005859 × 131072)
    floor (114595.5)     		tx = 114595
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138408660888672 × 217)
    floor (0.138408660888672 × 131072)
    floor (18141.5)     		ty = 18141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114595 / 18141 ti = "17/114595/18141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114595/18141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114595 ÷ 217
    114595 ÷ 131072     		x = 0.874290466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18141 ÷ 217
    18141 ÷ 131072     		y = 0.138404846191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874290466308594 × 2 - 1) × π
    0.748580932617188 × 3.1415926535     		Λ = 2.35173636
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138404846191406 × 2 - 1) × π
    0.723190307617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.27196935749256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35173636} λ = 2.35173636}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27196935749256))-π/2
    2×atan(9.69848179706102)-π/2
    2×1.46805049094528-π/2
    2.93610098189055-1.57079632675     		φ = 1.36530466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35173636} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.744568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36530466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.226195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114595 KachelY 18141 2.35173636 1.36530466 134.744568 78.226195
    Oben rechts KachelX + 1 114596 KachelY 18141 2.35178430 1.36530466 134.747315 78.226195
    Unten links KachelX 114595 KachelY + 1 18142 2.35173636 1.36529487 134.744568 78.225634
    Unten rechts KachelX + 1 114596 KachelY + 1 18142 2.35178430 1.36529487 134.747315 78.225634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36530466-1.36529487) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dl = 62.3720900000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36530466-1.36529487) × R
    9.79000000000951e-06 × 6371000     		dr = 62.3720900000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35173636-2.35178430) × cos(1.36530466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204048507056872 × 6371000     		do = 62.3216662636994m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35173636-2.35178430) × cos(1.36529487) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204058091073119 × 6371000     		du = 62.324593468954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36530466)-sin(1.36529487))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204048507056872-0.204058091073119)×R²
    abs(2.35178430-2.35173636)×9.58401624756577e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.58401624756577e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.58401624756577e-06×40589641000000     		ar = 3887.22386515371m²