Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114570 / 18106
↖ ↑ ↗
← N 78.245793°
E134.675904°		 ← 62.21 m → N 78.245793°
E134.678650°		 →
↑
62.18 m
↓
↑
62.18 m
↓
N 78.245234°
E134.675904°		 ← 62.21 m →
3 868 m²		 N 78.245234°
E134.678650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114570 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.874103546142578 y=0.138141632080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.874103546142578 × 217)
    floor (0.874103546142578 × 131072)
    floor (114570.5)     		tx = 114570
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138141632080078 × 217)
    floor (0.138141632080078 × 131072)
    floor (18106.5)     		ty = 18106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114570 / 18106 ti = "17/114570/18106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114570/18106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114570 ÷ 217
    114570 ÷ 131072     		x = 0.874099731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18106 ÷ 217
    18106 ÷ 131072     		y = 0.138137817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.874099731445312 × 2 - 1) × π
    0.748199462890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.35053794
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138137817382812 × 2 - 1) × π
    0.723724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27364714897926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.35053794} λ = 2.35053794}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27364714897926))-π/2
    2×atan(9.71476748542839)-π/2
    2×1.46822152586977-π/2
    2.93644305173954-1.57079632675     		φ = 1.36564672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.35053794} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.675904°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36564672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.245793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114570 KachelY 18106 2.35053794 1.36564672 134.675904 78.245793
    Oben rechts KachelX + 1 114571 KachelY 18106 2.35058587 1.36564672 134.678650 78.245793
    Unten links KachelX 114570 KachelY + 1 18107 2.35053794 1.36563696 134.675904 78.245234
    Unten rechts KachelX + 1 114571 KachelY + 1 18107 2.35058587 1.36563696 134.678650 78.245234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36564672-1.36563696) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dl = 62.1809599998075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36564672-1.36563696) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dr = 62.1809599998075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.35053794-2.35058587) × cos(1.36564672) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203713631801994 × 6371000     		do = 62.2064081457676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.35053794-2.35058587) × cos(1.36563696) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203723187130152 × 6371000     		du = 62.2093259801712m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36564672)-sin(1.36563696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203713631801994-0.203723187130152)×R²
    abs(2.35058587-2.35053794)×9.55532815807847e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.55532815807847e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.55532815807847e-06×40589641000000     		ar = 3868.14489357586m²