Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114555 / 18230
↖ ↑ ↗
← N 78.176212°
E134.634704°		 ← 62.58 m → N 78.176212°
E134.637451°		 →
↑
62.63 m
↓
↑
62.63 m
↓
N 78.175648°
E134.634704°		 ← 62.59 m →
3 919 m²		 N 78.175648°
E134.637451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114555 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873989105224609 y=0.139087677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873989105224609 × 217)
    floor (0.873989105224609 × 131072)
    floor (114555.5)     		tx = 114555
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.139087677001953 × 217)
    floor (0.139087677001953 × 131072)
    floor (18230.5)     		ty = 18230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114555 / 18230 ti = "17/114555/18230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114555/18230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114555 ÷ 217
    114555 ÷ 131072     		x = 0.873985290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18230 ÷ 217
    18230 ÷ 131072     		y = 0.139083862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873985290527344 × 2 - 1) × π
    0.747970581054688 × 3.1415926535     		Λ = 2.34981888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.139083862304688 × 2 - 1) × π
    0.721832275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.26770297342638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34981888} λ = 2.34981888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.26770297342638))-π/2
    2×atan(9.65719248950687)-π/2
    2×1.46761430608486-π/2
    2.93522861216971-1.57079632675     		φ = 1.36443229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34981888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.634704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36443229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.176212°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114555 KachelY 18230 2.34981888 1.36443229 134.634704 78.176212
    Oben rechts KachelX + 1 114556 KachelY 18230 2.34986682 1.36443229 134.637451 78.176212
    Unten links KachelX 114555 KachelY + 1 18231 2.34981888 1.36442246 134.634704 78.175648
    Unten rechts KachelX + 1 114556 KachelY + 1 18231 2.34986682 1.36442246 134.637451 78.175648
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36443229-1.36442246) × R
    9.8300000002105e-06 × 6371000     		dl = 62.6269300013411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36443229-1.36442246) × R
    9.8300000002105e-06 × 6371000     		dr = 62.6269300013411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34981888-2.34986682) × cos(1.36443229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204902445319849 × 6371000     		do = 62.5824809895835m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34981888-2.34986682) × cos(1.36442246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204912066740948 × 6371000     		du = 62.5854196192425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36443229)-sin(1.36442246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204902445319849-0.204912066740948)×R²
    abs(2.34986682-2.34981888)×9.62142109908748e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.62142109908748e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.62142109908748e-06×40589641000000     		ar = 3919.44067487404m²