Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114552 / 18168
↖ ↑ ↗
← N 78.211053°
E134.626465°		 ← 62.40 m → N 78.211053°
E134.629212°		 →
↑
62.44 m
↓
↑
62.44 m
↓
N 78.210492°
E134.626465°		 ← 62.40 m →
3 896 m²		 N 78.210492°
E134.629212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873966217041016 y=0.138614654541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873966217041016 × 217)
    floor (0.873966217041016 × 131072)
    floor (114552.5)     		tx = 114552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138614654541016 × 217)
    floor (0.138614654541016 × 131072)
    floor (18168.5)     		ty = 18168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114552 / 18168 ti = "17/114552/18168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114552/18168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114552 ÷ 217
    114552 ÷ 131072     		x = 0.87396240234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18168 ÷ 217
    18168 ÷ 131072     		y = 0.13861083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87396240234375 × 2 - 1) × π
    0.7479248046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34967507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13861083984375 × 2 - 1) × π
    0.7227783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27067506120282
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34967507} λ = 2.34967507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27067506120282))-π/2
    2×atan(9.68593720801372)-π/2
    2×1.46791835763781-π/2
    2.93583671527563-1.57079632675     		φ = 1.36504039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34967507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.626465°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36504039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.211053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114552 KachelY 18168 2.34967507 1.36504039 134.626465 78.211053
    Oben rechts KachelX + 1 114553 KachelY 18168 2.34972301 1.36504039 134.629212 78.211053
    Unten links KachelX 114552 KachelY + 1 18169 2.34967507 1.36503059 134.626465 78.210492
    Unten rechts KachelX + 1 114553 KachelY + 1 18169 2.34972301 1.36503059 134.629212 78.210492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36504039-1.36503059) × R
    9.80000000017078e-06 × 6371000     		dl = 62.4358000010881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36504039-1.36503059) × R
    9.80000000017078e-06 × 6371000     		dr = 62.4358000010881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34967507-2.34972301) × cos(1.36504039) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204307209893685 × 6371000     		do = 62.4006807690732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34967507-2.34972301) × cos(1.36503059) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.204316803170719 × 6371000     		du = 62.4036108028103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36504039)-sin(1.36503059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.204307209893685-0.204316803170719)×R²
    abs(2.34972301-2.34967507)×9.59327703389801e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.59327703389801e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.59327703389801e-06×40589641000000     		ar = 3896.12789383585m²