Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114511 / 18767
↖ ↑ ↗
← N 77.870160°
E134.513855°		 ← 64.18 m → N 77.870160°
E134.516602°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.869582°
E134.513855°		 ← 64.18 m →
4 122 m²		 N 77.869582°
E134.516602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873653411865234 y=0.143184661865234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873653411865234 × 217)
    floor (0.873653411865234 × 131072)
    floor (114511.5)     		tx = 114511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143184661865234 × 217)
    floor (0.143184661865234 × 131072)
    floor (18767.5)     		ty = 18767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114511 / 18767 ti = "17/114511/18767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114511/18767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114511 ÷ 217
    114511 ÷ 131072     		x = 0.873649597167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18767 ÷ 217
    18767 ÷ 131072     		y = 0.143180847167969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873649597167969 × 2 - 1) × π
    0.747299194335938 × 3.1415926535     		Λ = 2.34770966
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143180847167969 × 2 - 1) × π
    0.713638305664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.24196085833041
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34770966} λ = 2.34770966}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24196085833041))-π/2
    2×atan(9.41176834967407)-π/2
    2×1.46494350191951-π/2
    2.92988700383902-1.57079632675     		φ = 1.35909068
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34770966} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.513855°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35909068 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.870160°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114511 KachelY 18767 2.34770966 1.35909068 134.513855 77.870160
    Oben rechts KachelX + 1 114512 KachelY 18767 2.34775760 1.35909068 134.516602 77.870160
    Unten links KachelX 114511 KachelY + 1 18768 2.34770966 1.35908060 134.513855 77.869582
    Unten rechts KachelX + 1 114512 KachelY + 1 18768 2.34775760 1.35908060 134.516602 77.869582
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35909068-1.35908060) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dl = 64.2196800001491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35909068-1.35908060) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dr = 64.2196800001491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34770966-2.34775760) × cos(1.35909068) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210127771103331 × 6371000     		do = 64.1784299837433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34770966-2.34775760) × cos(1.35908060) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210137626045903 × 6371000     		du = 64.1814399368711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35909068)-sin(1.35908060))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210127771103331-0.210137626045903)×R²
    abs(2.34775760-2.34770966)×9.85494257213504e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.85494257213504e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.85494257213504e-06×40589641000000     		ar = 4121.61488560202m²