Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114491 / 18812
↖ ↑ ↗
← N 77.844161°
E134.458923°		 ← 64.31 m → N 77.844161°
E134.461670°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.843583°
E134.458923°		 ← 64.32 m →
4 134 m²		 N 77.843583°
E134.461670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873500823974609 y=0.143527984619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873500823974609 × 217)
    floor (0.873500823974609 × 131072)
    floor (114491.5)     		tx = 114491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143527984619141 × 217)
    floor (0.143527984619141 × 131072)
    floor (18812.5)     		ty = 18812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114491 / 18812 ti = "17/114491/18812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114491/18812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114491 ÷ 217
    114491 ÷ 131072     		x = 0.873497009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18812 ÷ 217
    18812 ÷ 131072     		y = 0.143524169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873497009277344 × 2 - 1) × π
    0.746994018554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.34675092
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143524169921875 × 2 - 1) × π
    0.71295166015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.2398036978475
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34675092} λ = 2.34675092}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2398036978475))-π/2
    2×atan(9.39148753726393)-π/2
    2×1.4647166231025-π/2
    2.92943324620501-1.57079632675     		φ = 1.35863692
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34675092} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.458923°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35863692 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.844161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114491 KachelY 18812 2.34675092 1.35863692 134.458923 77.844161
    Oben rechts KachelX + 1 114492 KachelY 18812 2.34679886 1.35863692 134.461670 77.844161
    Unten links KachelX 114491 KachelY + 1 18813 2.34675092 1.35862683 134.458923 77.843583
    Unten rechts KachelX + 1 114492 KachelY + 1 18813 2.34679886 1.35862683 134.461670 77.843583
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35863692-1.35862683) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dl = 64.2833899997619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35863692-1.35862683) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dr = 64.2833899997619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34675092-2.34679886) × cos(1.35863692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210571378779613 × 6371000     		do = 64.3139191865415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34675092-2.34679886) × cos(1.35862683) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210581242535808 × 6371000     		du = 64.3169318315766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35863692)-sin(1.35862683))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210571378779613-0.210581242535808)×R²
    abs(2.34679886-2.34675092)×9.86375619504987e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.86375619504987e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.86375619504987e-06×40589641000000     		ar = 4134.41358119185m²