Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114487 / 18803
↖ ↑ ↗
← N 77.849366°
E134.447937°		 ← 64.29 m → N 77.849366°
E134.450684°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.848787°
E134.447937°		 ← 64.29 m →
4 133 m²		 N 77.848787°
E134.450684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873470306396484 y=0.143459320068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873470306396484 × 217)
    floor (0.873470306396484 × 131072)
    floor (114487.5)     		tx = 114487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143459320068359 × 217)
    floor (0.143459320068359 × 131072)
    floor (18803.5)     		ty = 18803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114487 / 18803 ti = "17/114487/18803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114487/18803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114487 ÷ 217
    114487 ÷ 131072     		x = 0.873466491699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18803 ÷ 217
    18803 ÷ 131072     		y = 0.143455505371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873466491699219 × 2 - 1) × π
    0.746932983398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.34655917
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143455505371094 × 2 - 1) × π
    0.713088989257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.24023512994408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34655917} λ = 2.34655917}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24023512994408))-π/2
    2×atan(9.3955402005838)-π/2
    2×1.46476203715072-π/2
    2.92952407430144-1.57079632675     		φ = 1.35872775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34655917} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.447937°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35872775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.849366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114487 KachelY 18803 2.34655917 1.35872775 134.447937 77.849366
    Oben rechts KachelX + 1 114488 KachelY 18803 2.34660711 1.35872775 134.450684 77.849366
    Unten links KachelX 114487 KachelY + 1 18804 2.34655917 1.35871766 134.447937 77.848787
    Unten rechts KachelX + 1 114488 KachelY + 1 18804 2.34660711 1.35871766 134.450684 77.848787
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35872775-1.35871766) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dl = 64.2833899997619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35872775-1.35871766) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dr = 64.2833899997619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34655917-2.34660711) × cos(1.35872775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210482584457322 × 6371000     		do = 64.2867991149478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34655917-2.34660711) × cos(1.35871766) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210492448406464 × 6371000     		du = 64.2898118189139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35872775)-sin(1.35871766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210482584457322-0.210492448406464)×R²
    abs(2.34660711-2.34655917)×9.86394914220812e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.86394914220812e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.86394914220812e-06×40589641000000     		ar = 4132.67021288248m²