Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114484 / 18814
↖ ↑ ↗
← N 77.843005°
E134.439697°		 ← 64.32 m → N 77.843005°
E134.442444°		 →
↑
64.35 m
↓
↑
64.35 m
↓
N 77.842426°
E134.439697°		 ← 64.32 m →
4 139 m²		 N 77.842426°
E134.442444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114484 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873447418212891 y=0.143543243408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873447418212891 × 217)
    floor (0.873447418212891 × 131072)
    floor (114484.5)     		tx = 114484
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143543243408203 × 217)
    floor (0.143543243408203 × 131072)
    floor (18814.5)     		ty = 18814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114484 / 18814 ti = "17/114484/18814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114484/18814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114484 ÷ 217
    114484 ÷ 131072     		x = 0.873443603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18814 ÷ 217
    18814 ÷ 131072     		y = 0.143539428710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873443603515625 × 2 - 1) × π
    0.74688720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34641536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143539428710938 × 2 - 1) × π
    0.712921142578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.23970782404826
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34641536} λ = 2.34641536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23970782404826))-π/2
    2×atan(9.39058718283411)-π/2
    2×1.46470652849038-π/2
    2.92941305698076-1.57079632675     		φ = 1.35861673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34641536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.439697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35861673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.843005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114484 KachelY 18814 2.34641536 1.35861673 134.439697 77.843005
    Oben rechts KachelX + 1 114485 KachelY 18814 2.34646330 1.35861673 134.442444 77.843005
    Unten links KachelX 114484 KachelY + 1 18815 2.34641536 1.35860663 134.439697 77.842426
    Unten rechts KachelX + 1 114485 KachelY + 1 18815 2.34646330 1.35860663 134.442444 77.842426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35861673-1.35860663) × R
    1.01000000001239e-05 × 6371000     		dl = 64.3471000007894m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35861673-1.35860663) × R
    1.01000000001239e-05 × 6371000     		dr = 64.3471000007894m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34641536-2.34646330) × cos(1.35861673) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210591116046307 × 6371000     		do = 64.3199474558269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34641536-2.34646330) × cos(1.35860663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210600989535323 × 6371000     		du = 64.3229630735161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35861673)-sin(1.35860663))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210591116046307-0.210600989535323)×R²
    abs(2.34646330-2.34641536)×9.87348901629326e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.87348901629326e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.87348901629326e-06×40589641000000     		ar = 4138.89911417733m²