Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114483 / 18795
↖ ↑ ↗
← N 77.853989°
E134.436951°		 ← 64.25 m → N 77.853989°
E134.439697°		 →
↑
64.22 m
↓
↑
64.22 m
↓
N 77.853412°
E134.436951°		 ← 64.25 m →
4 126 m²		 N 77.853412°
E134.439697°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873439788818359 y=0.143398284912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873439788818359 × 217)
    floor (0.873439788818359 × 131072)
    floor (114483.5)     		tx = 114483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143398284912109 × 217)
    floor (0.143398284912109 × 131072)
    floor (18795.5)     		ty = 18795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114483 / 18795 ti = "17/114483/18795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114483/18795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114483 ÷ 217
    114483 ÷ 131072     		x = 0.873435974121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18795 ÷ 217
    18795 ÷ 131072     		y = 0.143394470214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873435974121094 × 2 - 1) × π
    0.746871948242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.34636743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143394470214844 × 2 - 1) × π
    0.713211059570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.24061862514104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34636743} λ = 2.34636743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24061862514104))-π/2
    2×atan(9.39914403610621)-π/2
    2×1.46480238911671-π/2
    2.92960477823341-1.57079632675     		φ = 1.35880845
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34636743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.436951°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35880845 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.853989°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114483 KachelY 18795 2.34636743 1.35880845 134.436951 77.853989
    Oben rechts KachelX + 1 114484 KachelY 18795 2.34641536 1.35880845 134.439697 77.853989
    Unten links KachelX 114483 KachelY + 1 18796 2.34636743 1.35879837 134.436951 77.853412
    Unten rechts KachelX + 1 114484 KachelY + 1 18796 2.34641536 1.35879837 134.439697 77.853412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35880845-1.35879837) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dl = 64.2196800001491m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35880845-1.35879837) × R
    1.00800000000234e-05 × 6371000     		dr = 64.2196800001491m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34636743-2.34641536) × cos(1.35880845) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210403691645122 × 6371000     		do = 64.2492984002878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34636743-2.34641536) × cos(1.35879837) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.2104135459895 × 6371000     		du = 64.2523075428913m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35880845)-sin(1.35879837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210403691645122-0.2104135459895)×R²
    abs(2.34641536-2.34636743)×9.85434437766886e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.85434437766886e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.85434437766886e-06×40589641000000     		ar = 4126.1660064939m²