Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114481 / 18811
↖ ↑ ↗
← N 77.844740°
E134.431457°		 ← 64.31 m → N 77.844740°
E134.434204°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.844161°
E134.431457°		 ← 64.31 m →
4 134 m²		 N 77.844161°
E134.434204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18811 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873424530029297 y=0.143520355224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873424530029297 × 217)
    floor (0.873424530029297 × 131072)
    floor (114481.5)     		tx = 114481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143520355224609 × 217)
    floor (0.143520355224609 × 131072)
    floor (18811.5)     		ty = 18811
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114481 / 18811 ti = "17/114481/18811"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114481/18811.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114481 ÷ 217
    114481 ÷ 131072     		x = 0.873420715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18811 ÷ 217
    18811 ÷ 131072     		y = 0.143516540527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873420715332031 × 2 - 1) × π
    0.746841430664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.34627155
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143516540527344 × 2 - 1) × π
    0.712966918945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.23985163474712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34627155} λ = 2.34627155}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23985163474712))-π/2
    2×atan(9.39193774685003)-π/2
    2×1.46472167005378-π/2
    2.92944334010757-1.57079632675     		φ = 1.35864701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34627155} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.431457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35864701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.844740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114481 KachelY 18811 2.34627155 1.35864701 134.431457 77.844740
    Oben rechts KachelX + 1 114482 KachelY 18811 2.34631949 1.35864701 134.434204 77.844740
    Unten links KachelX 114481 KachelY + 1 18812 2.34627155 1.35863692 134.431457 77.844161
    Unten rechts KachelX + 1 114482 KachelY + 1 18812 2.34631949 1.35863692 134.434204 77.844161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35864701-1.35863692) × R
    1.00900000001847e-05 × 6371000     		dl = 64.2833900011766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35864701-1.35863692) × R
    1.00900000001847e-05 × 6371000     		dr = 64.2833900011766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34627155-2.34631949) × cos(1.35864701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21056151500198 × 6371000     		do = 64.3109065349587m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34627155-2.34631949) × cos(1.35863692) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210571378779613 × 6371000     		du = 64.3139191865415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35864701)-sin(1.35863692))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21056151500198-0.210571378779613)×R²
    abs(2.34631949-2.34627155)×9.86377763312341e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.86377763312341e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.86377763312341e-06×40589641000000     		ar = 4134.21991776901m²