Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114450 / 18801
↖ ↑ ↗
← N 77.850522°
E134.346314°		 ← 64.27 m → N 77.850522°
E134.349060°		 →
↑
64.28 m
↓
↑
64.28 m
↓
N 77.849944°
E134.346314°		 ← 64.27 m →
4 131 m²		 N 77.849944°
E134.349060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114450 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.873188018798828 y=0.143444061279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.873188018798828 × 217)
    floor (0.873188018798828 × 131072)
    floor (114450.5)     		tx = 114450
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143444061279297 × 217)
    floor (0.143444061279297 × 131072)
    floor (18801.5)     		ty = 18801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114450 / 18801 ti = "17/114450/18801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114450/18801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114450 ÷ 217
    114450 ÷ 131072     		x = 0.873184204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18801 ÷ 217
    18801 ÷ 131072     		y = 0.143440246582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.873184204101562 × 2 - 1) × π
    0.746368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34478551
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143440246582031 × 2 - 1) × π
    0.713119506835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.24033100374332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34478551} λ = 2.34478551}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.24033100374332))-π/2
    2×atan(9.39644102990101)-π/2
    2×1.46477212656053-π/2
    2.92954425312106-1.57079632675     		φ = 1.35874793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34478551} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.346314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35874793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.850522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114450 KachelY 18801 2.34478551 1.35874793 134.346314 77.850522
    Oben rechts KachelX + 1 114451 KachelY 18801 2.34483344 1.35874793 134.349060 77.850522
    Unten links KachelX 114450 KachelY + 1 18802 2.34478551 1.35873784 134.346314 77.849944
    Unten rechts KachelX + 1 114451 KachelY + 1 18802 2.34483344 1.35873784 134.349060 77.849944
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35874793-1.35873784) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dl = 64.2833899997619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35874793-1.35873784) × R
    1.00899999999626e-05 × 6371000     		dr = 64.2833899997619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34478551-2.34483344) × cos(1.35874793) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.210462856494752 × 6371000     		do = 64.2673650988754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34478551-2.34483344) × cos(1.35873784) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.21047272048675 × 6371000     		du = 64.2703771874961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35874793)-sin(1.35873784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210462856494752-0.21047272048675)×R²
    abs(2.34483344-2.34478551)×9.86399199887078e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.86399199887078e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.86399199887078e-06×40589641000000     		ar = 4131.42090875231m²