Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114416 / 18000
↖ ↑ ↗
← N 78.304955°
E134.252929°		 ← 61.91 m → N 78.304955°
E134.255676°		 →
↑
61.93 m
↓
↑
61.93 m
↓
N 78.304398°
E134.252929°		 ← 61.91 m →
3 834 m²		 N 78.304398°
E134.255676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872928619384766 y=0.137332916259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872928619384766 × 217)
    floor (0.872928619384766 × 131072)
    floor (114416.5)     		tx = 114416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137332916259766 × 217)
    floor (0.137332916259766 × 131072)
    floor (18000.5)     		ty = 18000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114416 / 18000 ti = "17/114416/18000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114416/18000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114416 ÷ 217
    114416 ÷ 131072     		x = 0.8729248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18000 ÷ 217
    18000 ÷ 131072     		y = 0.1373291015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8729248046875 × 2 - 1) × π
    0.745849609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34315565
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1373291015625 × 2 - 1) × π
    0.725341796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27872846033899
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34315565} λ = 2.34315565}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27872846033899))-π/2
    2×atan(9.76425687281887)-π/2
    2×1.46873780670998-π/2
    2.93747561341997-1.57079632675     		φ = 1.36667929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34315565} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.252929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36667929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.304955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114416 KachelY 18000 2.34315565 1.36667929 134.252929 78.304955
    Oben rechts KachelX + 1 114417 KachelY 18000 2.34320359 1.36667929 134.255676 78.304955
    Unten links KachelX 114416 KachelY + 1 18001 2.34315565 1.36666957 134.252929 78.304398
    Unten rechts KachelX + 1 114417 KachelY + 1 18001 2.34320359 1.36666957 134.255676 78.304398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36667929-1.36666957) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dl = 61.9261199999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36667929-1.36666957) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dr = 61.9261199999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34315565-2.34320359) × cos(1.36667929) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202702605839304 × 6371000     		do = 61.9105933883571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34315565-2.34320359) × cos(1.36666957) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202712124045883 × 6371000     		du = 61.913500493645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36667929)-sin(1.36666957))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202702605839304-0.202712124045883)×R²
    abs(2.34320359-2.34315565)×9.51820657926761e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.51820657926761e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.51820657926761e-06×40589641000000     		ar = 3833.97284831174m²