Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114414 / 18006
↖ ↑ ↗
← N 78.301614°
E134.247437°		 ← 61.93 m → N 78.301614°
E134.250183°		 →
↑
61.93 m
↓
↑
61.93 m
↓
N 78.301057°
E134.247437°		 ← 61.93 m →
3 835 m²		 N 78.301057°
E134.250183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114414 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872913360595703 y=0.137378692626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872913360595703 × 217)
    floor (0.872913360595703 × 131072)
    floor (114414.5)     		tx = 114414
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137378692626953 × 217)
    floor (0.137378692626953 × 131072)
    floor (18006.5)     		ty = 18006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114414 / 18006 ti = "17/114414/18006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114414/18006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114414 ÷ 217
    114414 ÷ 131072     		x = 0.872909545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18006 ÷ 217
    18006 ÷ 131072     		y = 0.137374877929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872909545898438 × 2 - 1) × π
    0.745819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34305978
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137374877929688 × 2 - 1) × π
    0.725250244140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27844083894127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34305978} λ = 2.34305978}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27844083894127))-π/2
    2×atan(9.76144886744998)-π/2
    2×1.46870865180056-π/2
    2.93741730360113-1.57079632675     		φ = 1.36662098
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34305978} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.247437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36662098 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.301614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114414 KachelY 18006 2.34305978 1.36662098 134.247437 78.301614
    Oben rechts KachelX + 1 114415 KachelY 18006 2.34310772 1.36662098 134.250183 78.301614
    Unten links KachelX 114414 KachelY + 1 18007 2.34305978 1.36661126 134.247437 78.301057
    Unten rechts KachelX + 1 114415 KachelY + 1 18007 2.34310772 1.36661126 134.250183 78.301057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36662098-1.36661126) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dl = 61.9261199999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36662098-1.36661126) × R
    9.71999999999085e-06 × 6371000     		dr = 61.9261199999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34305978-2.34310772) × cos(1.36662098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202759704999197 × 6371000     		do = 61.928032941521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34305978-2.34310772) × cos(1.36661126) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202769223090871 × 6371000     		du = 61.9309400117139m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36662098)-sin(1.36661126))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202759704999197-0.202769223090871)×R²
    abs(2.34310772-2.34305978)×9.51809167398787e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.51809167398787e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.51809167398787e-06×40589641000000     		ar = 3835.05281106729m²