Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 1144 / 1193
↖ ↑ ↗
← S 28.459033°
E 21.093750°		 ← 17.184 km → S 28.459033°
E 21.269531°		 →
↑
17.171 km
↓
↑
17.171 km
↓
S 28.613460°
E 21.093750°		 ← 17.159 km →
294.858 km²		 S 28.613460°
E 21.269531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.558837890625 y=0.582763671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.558837890625 × 211)
    floor (0.558837890625 × 2048)
    floor (1144.5)     		tx = 1144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582763671875 × 211)
    floor (0.582763671875 × 2048)
    floor (1193.5)     		ty = 1193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 1144 / 1193 ti = "11/1144/1193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/1144/1193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1144 ÷ 211
    1144 ÷ 2048     		x = 0.55859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1193 ÷ 211
    1193 ÷ 2048     		y = 0.58251953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.55859375 × 2 - 1) × π
    0.1171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.36815539
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58251953125 × 2 - 1) × π
    -0.1650390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.518485506290527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.36815539} λ = 0.36815539}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.518485506290527))-π/2
    2×atan(0.595421627767857)-π/2
    2×0.537046249339943-π/2
    1.07409249867989-1.57079632675     		φ = -0.49670383
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.36815539} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.093750°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49670383 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.459033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1144 KachelY 1193 0.36815539 -0.49670383 21.093750 -28.459033
    Oben rechts KachelX + 1 1145 KachelY 1193 0.37122335 -0.49670383 21.269531 -28.459033
    Unten links KachelX 1144 KachelY + 1 1194 0.36815539 -0.49939908 21.093750 -28.613460
    Unten rechts KachelX + 1 1145 KachelY + 1 1194 0.37122335 -0.49939908 21.269531 -28.613460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49670383--0.49939908) × R
    0.00269524999999998 × 6371000     		dl = 17171.4377499999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49670383--0.49939908) × R
    0.00269524999999998 × 6371000     		dr = 17171.4377499999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.36815539-0.37122335) × cos(-0.49670383) × R
    0.00306795999999998 × 0.879158059759019 × 6371000     		do = 17183.9998394473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.36815539-0.37122335) × cos(-0.49939908) × R
    0.00306795999999998 × 0.877870499818039 × 6371000     		du = 17158.8332273991m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49670383)-sin(-0.49939908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879158059759019-0.877870499818039)×R²
    abs(0.37122335-0.36815539)×0.00128755994098018×R²
    0.00306795999999998×0.00128755994098018×6371000²
    0.00306795999999998×0.00128755994098018×40589641000000     		ar = 294858088.579604m²