Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114395 / 16473
↖ ↑ ↗
← N 79.125313°
E134.195252°		 ← 57.62 m → N 79.125313°
E134.197998°		 →
↑
57.59 m
↓
↑
57.59 m
↓
N 79.124795°
E134.195252°		 ← 57.62 m →
3 319 m²		 N 79.124795°
E134.197998°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16473 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872768402099609 y=0.125682830810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872768402099609 × 217)
    floor (0.872768402099609 × 131072)
    floor (114395.5)     		tx = 114395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125682830810547 × 217)
    floor (0.125682830810547 × 131072)
    floor (16473.5)     		ty = 16473
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114395 / 16473 ti = "17/114395/16473"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114395/16473.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114395 ÷ 217
    114395 ÷ 131072     		x = 0.872764587402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16473 ÷ 217
    16473 ÷ 131072     		y = 0.125679016113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872764587402344 × 2 - 1) × π
    0.745529174804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.34214898
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125679016113281 × 2 - 1) × π
    0.748641967773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.35192810605882
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34214898} λ = 2.34214898}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35192810605882))-π/2
    2×atan(10.5058065183168)-π/2
    2×1.47589678528722-π/2
    2.95179357057444-1.57079632675     		φ = 1.38099724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34214898} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.195252°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38099724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.125313°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114395 KachelY 16473 2.34214898 1.38099724 134.195252 79.125313
    Oben rechts KachelX + 1 114396 KachelY 16473 2.34219692 1.38099724 134.197998 79.125313
    Unten links KachelX 114395 KachelY + 1 16474 2.34214898 1.38098820 134.195252 79.124795
    Unten rechts KachelX + 1 114396 KachelY + 1 16474 2.34219692 1.38098820 134.197998 79.124795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38099724-1.38098820) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dl = 57.5938399993927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38099724-1.38098820) × R
    9.03999999990468e-06 × 6371000     		dr = 57.5938399993927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34214898-2.34219692) × cos(1.38099724) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188661593547776 × 6371000     		do = 57.6221068188708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34214898-2.34219692) × cos(1.38098820) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188670471201189 × 6371000     		du = 57.624818282734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38099724)-sin(1.38098820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188661593547776-0.188670471201189)×R²
    abs(2.34219692-2.34214898)×8.8776534132029e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.8776534132029e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.8776534132029e-06×40589641000000     		ar = 3318.75648247612m²