Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114391 / 18115
↖ ↑ ↗
← N 78.240757°
E134.184265°		 ← 62.25 m → N 78.240757°
E134.187012°		 →
↑
62.24 m
↓
↑
62.24 m
↓
N 78.240197°
E134.184265°		 ← 62.25 m →
3 875 m²		 N 78.240197°
E134.187012°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18115 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872737884521484 y=0.138210296630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872737884521484 × 217)
    floor (0.872737884521484 × 131072)
    floor (114391.5)     		tx = 114391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138210296630859 × 217)
    floor (0.138210296630859 × 131072)
    floor (18115.5)     		ty = 18115
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114391 / 18115 ti = "17/114391/18115"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114391/18115.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114391 ÷ 217
    114391 ÷ 131072     		x = 0.872734069824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18115 ÷ 217
    18115 ÷ 131072     		y = 0.138206481933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872734069824219 × 2 - 1) × π
    0.745468139648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.34195723
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138206481933594 × 2 - 1) × π
    0.723587036132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.27321571688268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34195723} λ = 2.34195723}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27321571688268))-π/2
    2×atan(9.71057712691693)-π/2
    2×1.46817757228922-π/2
    2.93635514457843-1.57079632675     		φ = 1.36555882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34195723} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.184265°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36555882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.240757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114391 KachelY 18115 2.34195723 1.36555882 134.184265 78.240757
    Oben rechts KachelX + 1 114392 KachelY 18115 2.34200517 1.36555882 134.187012 78.240757
    Unten links KachelX 114391 KachelY + 1 18116 2.34195723 1.36554905 134.184265 78.240197
    Unten rechts KachelX + 1 114392 KachelY + 1 18116 2.34200517 1.36554905 134.187012 78.240197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36555882-1.36554905) × R
    9.76999999990902e-06 × 6371000     		dl = 62.2446699994204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36555882-1.36554905) × R
    9.76999999990902e-06 × 6371000     		dr = 62.2446699994204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34195723-2.34200517) × cos(1.36555882) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203799687797475 × 6371000     		do = 62.2456704578485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34195723-2.34200517) × cos(1.36554905) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203809252740931 × 6371000     		du = 62.2485918377818m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36555882)-sin(1.36554905))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203799687797475-0.203809252740931)×R²
    abs(2.34200517-2.34195723)×9.56494345644154e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.56494345644154e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.56494345644154e-06×40589641000000     		ar = 3874.55213685254m²