Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114387 / 18106
↖ ↑ ↗
← N 78.245793°
E134.173279°		 ← 62.22 m → N 78.245793°
E134.176025°		 →
↑
62.18 m
↓
↑
62.18 m
↓
N 78.245234°
E134.173279°		 ← 62.22 m →
3 869 m²		 N 78.245234°
E134.176025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872707366943359 y=0.138141632080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872707366943359 × 217)
    floor (0.872707366943359 × 131072)
    floor (114387.5)     		tx = 114387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138141632080078 × 217)
    floor (0.138141632080078 × 131072)
    floor (18106.5)     		ty = 18106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114387 / 18106 ti = "17/114387/18106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114387/18106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114387 ÷ 217
    114387 ÷ 131072     		x = 0.872703552246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18106 ÷ 217
    18106 ÷ 131072     		y = 0.138137817382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872703552246094 × 2 - 1) × π
    0.745407104492188 × 3.1415926535     		Λ = 2.34176548
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138137817382812 × 2 - 1) × π
    0.723724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27364714897926
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34176548} λ = 2.34176548}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27364714897926))-π/2
    2×atan(9.71476748542839)-π/2
    2×1.46822152586977-π/2
    2.93644305173954-1.57079632675     		φ = 1.36564672
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34176548} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.173279°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36564672 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.245793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114387 KachelY 18106 2.34176548 1.36564672 134.173279 78.245793
    Oben rechts KachelX + 1 114388 KachelY 18106 2.34181342 1.36564672 134.176025 78.245793
    Unten links KachelX 114387 KachelY + 1 18107 2.34176548 1.36563696 134.173279 78.245234
    Unten rechts KachelX + 1 114388 KachelY + 1 18107 2.34181342 1.36563696 134.176025 78.245234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36564672-1.36563696) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dl = 62.1809599998075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36564672-1.36563696) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dr = 62.1809599998075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34176548-2.34181342) × cos(1.36564672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203713631801994 × 6371000     		do = 62.2193867411708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34176548-2.34181342) × cos(1.36563696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203723187130152 × 6371000     		du = 62.2223051843444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36564672)-sin(1.36563696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203713631801994-0.203723187130152)×R²
    abs(2.34181342-2.34176548)×9.55532815807847e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.55532815807847e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.55532815807847e-06×40589641000000     		ar = 3868.95193402444m²