Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114386 / 18098
↖ ↑ ↗
← N 78.250269°
E134.170532°		 ← 62.18 m → N 78.250269°
E134.173279°		 →
↑
62.18 m
↓
↑
62.18 m
↓
N 78.249710°
E134.170532°		 ← 62.19 m →
3 867 m²		 N 78.249710°
E134.173279°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114386 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18098 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872699737548828 y=0.138080596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872699737548828 × 217)
    floor (0.872699737548828 × 131072)
    floor (114386.5)     		tx = 114386
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138080596923828 × 217)
    floor (0.138080596923828 × 131072)
    floor (18098.5)     		ty = 18098
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114386 / 18098 ti = "17/114386/18098"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114386/18098.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114386 ÷ 217
    114386 ÷ 131072     		x = 0.872695922851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18098 ÷ 217
    18098 ÷ 131072     		y = 0.138076782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872695922851562 × 2 - 1) × π
    0.745391845703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34171755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138076782226562 × 2 - 1) × π
    0.723846435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27403064417622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34171755} λ = 2.34171755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27403064417622))-π/2
    2×atan(9.71849376655842)-π/2
    2×1.46826058013649-π/2
    2.93652116027297-1.57079632675     		φ = 1.36572483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34171755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.170532°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36572483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.250269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114386 KachelY 18098 2.34171755 1.36572483 134.170532 78.250269
    Oben rechts KachelX + 1 114387 KachelY 18098 2.34176548 1.36572483 134.173279 78.250269
    Unten links KachelX 114386 KachelY + 1 18099 2.34171755 1.36571507 134.170532 78.249710
    Unten rechts KachelX + 1 114387 KachelY + 1 18099 2.34176548 1.36571507 134.173279 78.249710
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36572483-1.36571507) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dl = 62.1809599998075m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36572483-1.36571507) × R
    9.75999999996979e-06 × 6371000     		dr = 62.1809599998075m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34171755-2.34176548) × cos(1.36572483) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203637159106823 × 6371000     		do = 62.1830562883306m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34171755-2.34176548) × cos(1.36571507) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203646714590258 × 6371000     		du = 62.1859741701498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36572483)-sin(1.36571507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203637159106823-0.203646714590258)×R²
    abs(2.34176548-2.34171755)×9.55548343437029e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.55548343437029e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.55548343437029e-06×40589641000000     		ar = 3866.69285393197m²