Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114385 / 16499
↖ ↑ ↗
← N 79.111833°
E134.167786°		 ← 57.69 m → N 79.111833°
E134.170532°		 →
↑
57.72 m
↓
↑
57.72 m
↓
N 79.111314°
E134.167786°		 ← 57.70 m →
3 330 m²		 N 79.111314°
E134.170532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114385 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872692108154297 y=0.125881195068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872692108154297 × 217)
    floor (0.872692108154297 × 131072)
    floor (114385.5)     		tx = 114385
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125881195068359 × 217)
    floor (0.125881195068359 × 131072)
    floor (16499.5)     		ty = 16499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114385 / 16499 ti = "17/114385/16499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114385/16499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114385 ÷ 217
    114385 ÷ 131072     		x = 0.872688293457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16499 ÷ 217
    16499 ÷ 131072     		y = 0.125877380371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872688293457031 × 2 - 1) × π
    0.745376586914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.34166961
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125877380371094 × 2 - 1) × π
    0.748245239257812 × 3.1415926535     		Φ = 2.35068174666869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34166961} λ = 2.34166961}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35068174666869))-π/2
    2×atan(10.4927206642444)-π/2
    2×1.47577914323536-π/2
    2.95155828647072-1.57079632675     		φ = 1.38076196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34166961} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.167786°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38076196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.111833°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114385 KachelY 16499 2.34166961 1.38076196 134.167786 79.111833
    Oben rechts KachelX + 1 114386 KachelY 16499 2.34171755 1.38076196 134.170532 79.111833
    Unten links KachelX 114385 KachelY + 1 16500 2.34166961 1.38075290 134.167786 79.111314
    Unten rechts KachelX + 1 114386 KachelY + 1 16500 2.34171755 1.38075290 134.170532 79.111314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38076196-1.38075290) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dl = 57.721260000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38076196-1.38075290) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dr = 57.721260000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34166961-2.34171755) × cos(1.38076196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188892643203101 × 6371000     		do = 57.6926753308254m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34166961-2.34171755) × cos(1.38075290) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18890154009491 × 6371000     		du = 57.6953926705897m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38076196)-sin(1.38075290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188892643203101-0.18890154009491)×R²
    abs(2.34171755-2.34166961)×8.89689180860742e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.89689180860742e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.89689180860742e-06×40589641000000     		ar = 3330.1723370684m²