Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114381 / 18023
N 78.292143°
E134.156799°
← 61.98 m → N 78.292143°
E134.159546°

61.99 m

61.99 m
N 78.291586°
E134.156799°
← 61.98 m →
3 842 m²
N 78.291586°
E134.159546°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18023 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872661590576172 y=0.137508392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872661590576172 × 217)
    floor (0.872661590576172 × 131072)
    floor (114381.5)
    tx = 114381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137508392333984 × 217)
    floor (0.137508392333984 × 131072)
    floor (18023.5)
    ty = 18023
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114381 / 18023 ti = "17/114381/18023"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114381/18023.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114381 ÷ 217
    114381 ÷ 131072
    x = 0.872657775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18023 ÷ 217
    18023 ÷ 131072
    y = 0.137504577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.872657775878906 × 2 - 1) × π
    0.745315551757812 × 3.1415926535
    Λ = 2.34147786
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.137504577636719 × 2 - 1) × π
    0.724990844726562 × 3.1415926535
    Φ = 2.27762591164773
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34147786} λ = 2.34147786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27762591164773))-π/2
    2×atan(9.75349723678388)-π/2
    2×1.46862600161781-π/2
    2.93725200323562-1.57079632675
    φ = 1.36645568
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34147786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.156799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36645568 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.292143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114381 KachelY 18023 2.34147786 1.36645568 134.156799 78.292143
    Oben rechts KachelX + 1 114382 KachelY 18023 2.34152580 1.36645568 134.159546 78.292143
    Unten links KachelX 114381 KachelY + 1 18024 2.34147786 1.36644595 134.156799 78.291586
    Unten rechts KachelX + 1 114382 KachelY + 1 18024 2.34152580 1.36644595 134.159546 78.291586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.36645568-1.36644595) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000
    dl = 61.9898300009691m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.36645568-1.36644595) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000
    dr = 61.9898300009691m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.34147786-2.34152580) × cos(1.36645568) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202921568703349 × 6371000
    do = 61.9774702831407m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.34147786-2.34152580) × cos(1.36644595) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202931096261039 × 6371000
    du = 61.9803802444984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.36645568)-sin(1.36644595))×
    abs(λ12)×abs(0.202921568703349-0.202931096261039)×
    abs(2.34152580-2.34147786)×9.52755768943159e-06×
    4.79399999999686e-05×9.52755768943159e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.52755768943159e-06×40589641000000
    ar = 3842.06304087695m²