Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114381 / 16495
↖ ↑ ↗
← N 79.113908°
E134.156799°		 ← 57.68 m → N 79.113908°
E134.159546°		 →
↑
57.72 m
↓
↑
57.72 m
↓
N 79.113389°
E134.156799°		 ← 57.68 m →
3 330 m²		 N 79.113389°
E134.159546°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872661590576172 y=0.125850677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872661590576172 × 217)
    floor (0.872661590576172 × 131072)
    floor (114381.5)     		tx = 114381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125850677490234 × 217)
    floor (0.125850677490234 × 131072)
    floor (16495.5)     		ty = 16495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114381 / 16495 ti = "17/114381/16495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114381/16495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114381 ÷ 217
    114381 ÷ 131072     		x = 0.872657775878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16495 ÷ 217
    16495 ÷ 131072     		y = 0.125846862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872657775878906 × 2 - 1) × π
    0.745315551757812 × 3.1415926535     		Λ = 2.34147786
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125846862792969 × 2 - 1) × π
    0.748306274414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.35087349426717
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34147786} λ = 2.34147786}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35087349426717))-π/2
    2×atan(10.4947328111393)-π/2
    2×1.47579725138584-π/2
    2.95159450277168-1.57079632675     		φ = 1.38079818
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34147786} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.156799°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38079818 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.113908°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114381 KachelY 16495 2.34147786 1.38079818 134.156799 79.113908
    Oben rechts KachelX + 1 114382 KachelY 16495 2.34152580 1.38079818 134.159546 79.113908
    Unten links KachelX 114381 KachelY + 1 16496 2.34147786 1.38078912 134.156799 79.113389
    Unten rechts KachelX + 1 114382 KachelY + 1 16496 2.34152580 1.38078912 134.159546 79.113389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38079818-1.38078912) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dl = 57.721260000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38079818-1.38078912) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dr = 57.721260000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34147786-2.34152580) × cos(1.38079818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188857075120916 × 6371000     		do = 57.6818119230036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34147786-2.34152580) × cos(1.38078912) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.188865972074706 × 6371000     		du = 57.6845292816986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38079818)-sin(1.38078912))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188857075120916-0.188865972074706)×R²
    abs(2.34152580-2.34147786)×8.89695378994415e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.89695378994415e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.89695378994415e-06×40589641000000     		ar = 3329.54528799052m²