Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114376 / 16490
↖ ↑ ↗
← N 79.116501°
E134.143067°		 ← 57.66 m → N 79.116501°
E134.145813°		 →
↑
57.66 m
↓
↑
57.66 m
↓
N 79.115983°
E134.143067°		 ← 57.66 m →
3 324 m²		 N 79.115983°
E134.145813°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16490 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872623443603516 y=0.125812530517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872623443603516 × 217)
    floor (0.872623443603516 × 131072)
    floor (114376.5)     		tx = 114376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.125812530517578 × 217)
    floor (0.125812530517578 × 131072)
    floor (16490.5)     		ty = 16490
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114376 / 16490 ti = "17/114376/16490"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114376/16490.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114376 ÷ 217
    114376 ÷ 131072     		x = 0.87261962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16490 ÷ 217
    16490 ÷ 131072     		y = 0.125808715820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.87261962890625 × 2 - 1) × π
    0.7452392578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34123818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125808715820312 × 2 - 1) × π
    0.748382568359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.35111317876527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34123818} λ = 2.34123818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.35111317876527))-π/2
    2×atan(10.4972485373841)-π/2
    2×1.47581988177956-π/2
    2.95163976355912-1.57079632675     		φ = 1.38084344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34123818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.143067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38084344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.116501°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114376 KachelY 16490 2.34123818 1.38084344 134.143067 79.116501
    Oben rechts KachelX + 1 114377 KachelY 16490 2.34128611 1.38084344 134.145813 79.116501
    Unten links KachelX 114376 KachelY + 1 16491 2.34123818 1.38083439 134.143067 79.115983
    Unten rechts KachelX + 1 114377 KachelY + 1 16491 2.34128611 1.38083439 134.145813 79.115983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38084344-1.38083439) × R
    9.05000000006595e-06 × 6371000     		dl = 57.6575500004202m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38084344-1.38083439) × R
    9.05000000006595e-06 × 6371000     		dr = 57.6575500004202m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34123818-2.34128611) × cos(1.38084344) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188812629399975 × 6371000     		do = 57.6562078032495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34123818-2.34128611) × cos(1.38083439) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.188821516611086 × 6371000     		du = 57.6589216200752m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38084344)-sin(1.38083439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.188812629399975-0.188821516611086)×R²
    abs(2.34128611-2.34123818)×8.88721111039215e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.88721111039215e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.88721111039215e-06×40589641000000     		ar = 3324.39392039577m²