Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114375 / 18033
↖ ↑ ↗
← N 78.286568°
E134.140320°		 ← 62.01 m → N 78.286568°
E134.143067°		 →
↑
61.99 m
↓
↑
61.99 m
↓
N 78.286011°
E134.140320°		 ← 62.01 m →
3 844 m²		 N 78.286011°
E134.143067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114375 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872615814208984 y=0.137584686279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872615814208984 × 217)
    floor (0.872615814208984 × 131072)
    floor (114375.5)     		tx = 114375
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137584686279297 × 217)
    floor (0.137584686279297 × 131072)
    floor (18033.5)     		ty = 18033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114375 / 18033 ti = "17/114375/18033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114375/18033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114375 ÷ 217
    114375 ÷ 131072     		x = 0.872611999511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18033 ÷ 217
    18033 ÷ 131072     		y = 0.137580871582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872611999511719 × 2 - 1) × π
    0.745223999023438 × 3.1415926535     		Λ = 2.34119024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137580871582031 × 2 - 1) × π
    0.724838256835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.27714654265153
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34119024} λ = 2.34119024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27714654265153))-π/2
    2×atan(9.74882283307566)-π/2
    2×1.46857735304588-π/2
    2.93715470609176-1.57079632675     		φ = 1.36635838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34119024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.140320°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36635838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.286568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114375 KachelY 18033 2.34119024 1.36635838 134.140320 78.286568
    Oben rechts KachelX + 1 114376 KachelY 18033 2.34123818 1.36635838 134.143067 78.286568
    Unten links KachelX 114375 KachelY + 1 18034 2.34119024 1.36634865 134.140320 78.286011
    Unten rechts KachelX + 1 114376 KachelY + 1 18034 2.34123818 1.36634865 134.143067 78.286011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36635838-1.36634865) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000     		dl = 61.9898300009691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36635838-1.36634865) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000     		dr = 61.9898300009691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34119024-2.34123818) × cos(1.36635838) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.20301684341559 × 6371000     		do = 62.0065696326302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34119024-2.34123818) × cos(1.36634865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203026370781119 × 6371000     		du = 62.0094795352968m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36635838)-sin(1.36634865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.20301684341559-0.203026370781119)×R²
    abs(2.34123818-2.34119024)×9.52736552808919e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.52736552808919e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.52736552808919e-06×40589641000000     		ar = 3843.86690256872m²