Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114371 / 18043
↖ ↑ ↗
← N 78.280991°
E134.129333°		 ← 62.04 m → N 78.280991°
E134.132080°		 →
↑
62.05 m
↓
↑
62.05 m
↓
N 78.280433°
E134.129333°		 ← 62.04 m →
3 850 m²		 N 78.280433°
E134.132080°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114371 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18043 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872585296630859 y=0.137660980224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872585296630859 × 217)
    floor (0.872585296630859 × 131072)
    floor (114371.5)     		tx = 114371
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137660980224609 × 217)
    floor (0.137660980224609 × 131072)
    floor (18043.5)     		ty = 18043
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114371 / 18043 ti = "17/114371/18043"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114371/18043.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114371 ÷ 217
    114371 ÷ 131072     		x = 0.872581481933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18043 ÷ 217
    18043 ÷ 131072     		y = 0.137657165527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872581481933594 × 2 - 1) × π
    0.745162963867188 × 3.1415926535     		Λ = 2.34099849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137657165527344 × 2 - 1) × π
    0.724685668945312 × 3.1415926535     		Φ = 2.27666717365533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34099849} λ = 2.34099849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27666717365533))-π/2
    2×atan(9.74415066959466)-π/2
    2×1.46852868163362-π/2
    2.93705736326724-1.57079632675     		φ = 1.36626104
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34099849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.129333°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36626104 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.280991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114371 KachelY 18043 2.34099849 1.36626104 134.129333 78.280991
    Oben rechts KachelX + 1 114372 KachelY 18043 2.34104643 1.36626104 134.132080 78.280991
    Unten links KachelX 114371 KachelY + 1 18044 2.34099849 1.36625130 134.129333 78.280433
    Unten rechts KachelX + 1 114372 KachelY + 1 18044 2.34104643 1.36625130 134.132080 78.280433
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36626104-1.36625130) × R
    9.7399999998693e-06 × 6371000     		dl = 62.0535399991673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36626104-1.36625130) × R
    9.7399999998693e-06 × 6371000     		dr = 62.0535399991673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34099849-2.34104643) × cos(1.36626104) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203112155372032 × 6371000     		do = 62.0356803574571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34099849-2.34104643) × cos(1.36625130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203121692336764 × 6371000     		du = 62.0385931919677m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36626104)-sin(1.36625130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203112155372032-0.203121692336764)×R²
    abs(2.34104643-2.34099849)×9.53696473221521e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.53696473221521e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.53696473221521e-06×40589641000000     		ar = 3849.62394826535m²