Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114364 / 18108
↖ ↑ ↗
← N 78.244674°
E134.110107°		 ← 62.23 m → N 78.244674°
E134.112854°		 →
↑
62.18 m
↓
↑
62.18 m
↓
N 78.244115°
E134.110107°		 ← 62.23 m →
3 869 m²		 N 78.244115°
E134.112854°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114364 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872531890869141 y=0.138156890869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872531890869141 × 217)
    floor (0.872531890869141 × 131072)
    floor (114364.5)     		tx = 114364
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.138156890869141 × 217)
    floor (0.138156890869141 × 131072)
    floor (18108.5)     		ty = 18108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114364 / 18108 ti = "17/114364/18108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114364/18108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114364 ÷ 217
    114364 ÷ 131072     		x = 0.872528076171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18108 ÷ 217
    18108 ÷ 131072     		y = 0.138153076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872528076171875 × 2 - 1) × π
    0.74505615234375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34066293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.138153076171875 × 2 - 1) × π
    0.72369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.27355127518002
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34066293} λ = 2.34066293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27355127518002))-π/2
    2×atan(9.71383613840742)-π/2
    2×1.46821176001176-π/2
    2.93642352002352-1.57079632675     		φ = 1.36562719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34066293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.110107°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36562719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.244674°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114364 KachelY 18108 2.34066293 1.36562719 134.110107 78.244674
    Oben rechts KachelX + 1 114365 KachelY 18108 2.34071087 1.36562719 134.112854 78.244674
    Unten links KachelX 114364 KachelY + 1 18109 2.34066293 1.36561743 134.110107 78.244115
    Unten rechts KachelX + 1 114365 KachelY + 1 18109 2.34071087 1.36561743 134.112854 78.244115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36562719-1.36561743) × R
    9.76000000019184e-06 × 6371000     		dl = 62.1809600012222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36562719-1.36561743) × R
    9.76000000019184e-06 × 6371000     		dr = 62.1809600012222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34066293-2.34071087) × cos(1.36562719) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203732752229169 × 6371000     		do = 62.2252266117899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34066293-2.34071087) × cos(1.36561743) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203742307518495 × 6371000     		du = 62.228145043103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36562719)-sin(1.36561743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203732752229169-0.203742307518495)×R²
    abs(2.34071087-2.34066293)×9.55528932511385e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.55528932511385e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.55528932511385e-06×40589641000000     		ar = 3869.31506260982m²