Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 114358 / 18074
↖ ↑ ↗
← N 78.263685°
E134.093628°		 ← 62.13 m → N 78.263685°
E134.096375°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.263126°
E134.093628°		 ← 62.13 m →
3 859 m²		 N 78.263126°
E134.096375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18074 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872486114501953 y=0.137897491455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872486114501953 × 217)
    floor (0.872486114501953 × 131072)
    floor (114358.5)     		tx = 114358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137897491455078 × 217)
    floor (0.137897491455078 × 131072)
    floor (18074.5)     		ty = 18074
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114358 / 18074 ti = "17/114358/18074"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114358/18074.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114358 ÷ 217
    114358 ÷ 131072     		x = 0.872482299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18074 ÷ 217
    18074 ÷ 131072     		y = 0.137893676757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872482299804688 × 2 - 1) × π
    0.744964599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34037531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137893676757812 × 2 - 1) × π
    0.724212646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2751811297671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34037531} λ = 2.34037531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2751811297671))-π/2
    2×atan(9.72968118785143)-π/2
    2×1.46837765499442-π/2
    2.93675530998884-1.57079632675     		φ = 1.36595898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34037531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.093628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36595898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.263685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114358 KachelY 18074 2.34037531 1.36595898 134.093628 78.263685
    Oben rechts KachelX + 1 114359 KachelY 18074 2.34042325 1.36595898 134.096375 78.263685
    Unten links KachelX 114358 KachelY + 1 18075 2.34037531 1.36594923 134.093628 78.263126
    Unten rechts KachelX + 1 114359 KachelY + 1 18075 2.34042325 1.36594923 134.096375 78.263126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36595898-1.36594923) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36595898-1.36594923) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34037531-2.34042325) × cos(1.36595898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203407909805563 × 6371000     		do = 62.1260113741767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34037531-2.34042325) × cos(1.36594923) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203417455963199 × 6371000     		du = 62.1289270164366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36595898)-sin(1.36594923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203407909805563-0.203417455963199)×R²
    abs(2.34042325-2.34037531)×9.54615763523736e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.54615763523736e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.54615763523736e-06×40589641000000     		ar = 3859.18753600387m²