Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114358 / 18036
↖ ↑ ↗
← N 78.284895°
E134.093628°		 ← 62.02 m → N 78.284895°
E134.096375°		 →
↑
61.99 m
↓
↑
61.99 m
↓
N 78.284338°
E134.093628°		 ← 62.02 m →
3 844 m²		 N 78.284338°
E134.096375°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114358 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18036 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872486114501953 y=0.137607574462891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872486114501953 × 217)
    floor (0.872486114501953 × 131072)
    floor (114358.5)     		tx = 114358
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137607574462891 × 217)
    floor (0.137607574462891 × 131072)
    floor (18036.5)     		ty = 18036
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114358 / 18036 ti = "17/114358/18036"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114358/18036.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114358 ÷ 217
    114358 ÷ 131072     		x = 0.872482299804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18036 ÷ 217
    18036 ÷ 131072     		y = 0.137603759765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872482299804688 × 2 - 1) × π
    0.744964599609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.34037531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137603759765625 × 2 - 1) × π
    0.72479248046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27700273195267
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34037531} λ = 2.34037531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27700273195267))-π/2
    2×atan(9.74742094885636)-π/2
    2×1.4685627540209-π/2
    2.93712550804181-1.57079632675     		φ = 1.36632918
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34037531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.093628°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36632918 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.284895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114358 KachelY 18036 2.34037531 1.36632918 134.093628 78.284895
    Oben rechts KachelX + 1 114359 KachelY 18036 2.34042325 1.36632918 134.096375 78.284895
    Unten links KachelX 114358 KachelY + 1 18037 2.34037531 1.36631945 134.093628 78.284338
    Unten rechts KachelX + 1 114359 KachelY + 1 18037 2.34042325 1.36631945 134.096375 78.284338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36632918-1.36631945) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dl = 61.9898299995545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36632918-1.36631945) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dr = 61.9898299995545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34037531-2.34042325) × cos(1.36632918) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203045435246203 × 6371000     		do = 62.0153023136531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34037531-2.34042325) × cos(1.36631945) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203054962554045 × 6371000     		du = 62.018212198701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36632918)-sin(1.36631945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203045435246203-0.203054962554045)×R²
    abs(2.34042325-2.34037531)×9.52730784209432e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.52730784209432e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.52730784209432e-06×40589641000000     		ar = 3844.40823945609m²