Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114357 / 18069
↖ ↑ ↗
← N 78.266478°
E134.090882°		 ← 62.10 m → N 78.266478°
E134.093628°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.265919°
E134.090882°		 ← 62.10 m →
3 857 m²		 N 78.265919°
E134.093628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114357 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18069 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872478485107422 y=0.137859344482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872478485107422 × 217)
    floor (0.872478485107422 × 131072)
    floor (114357.5)     		tx = 114357
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137859344482422 × 217)
    floor (0.137859344482422 × 131072)
    floor (18069.5)     		ty = 18069
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114357 / 18069 ti = "17/114357/18069"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114357/18069.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114357 ÷ 217
    114357 ÷ 131072     		x = 0.872474670410156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18069 ÷ 217
    18069 ÷ 131072     		y = 0.137855529785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872474670410156 × 2 - 1) × π
    0.744949340820312 × 3.1415926535     		Λ = 2.34032738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137855529785156 × 2 - 1) × π
    0.724288940429688 × 3.1415926535     		Φ = 2.27542081426521
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34032738} λ = 2.34032738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27542081426521))-π/2
    2×atan(9.73201352110451)-π/2
    2×1.46840202899534-π/2
    2.93680405799068-1.57079632675     		φ = 1.36600773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34032738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.090882°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36600773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.266478°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114357 KachelY 18069 2.34032738 1.36600773 134.090882 78.266478
    Oben rechts KachelX + 1 114358 KachelY 18069 2.34037531 1.36600773 134.093628 78.266478
    Unten links KachelX 114357 KachelY + 1 18070 2.34032738 1.36599798 134.090882 78.265919
    Unten rechts KachelX + 1 114358 KachelY + 1 18070 2.34037531 1.36599798 134.093628 78.265919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36600773-1.36599798) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36600773-1.36599798) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34032738-2.34037531) × cos(1.36600773) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203360178727359 × 6371000     		do = 62.098476997387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34032738-2.34037531) × cos(1.36599798) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.203369724981667 × 6371000     		du = 62.1013920609816m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36600773)-sin(1.36599798))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203360178727359-0.203369724981667)×R²
    abs(2.34037531-2.34032738)×9.54625430846234e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.54625430846234e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.54625430846234e-06×40589641000000     		ar = 3857.47715831701m²