Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114356 / 18028
↖ ↑ ↗
← N 78.289356°
E134.088135°		 ← 61.99 m → N 78.289356°
E134.090882°		 →
↑
61.99 m
↓
↑
61.99 m
↓
N 78.288798°
E134.088135°		 ← 61.99 m →
3 843 m²		 N 78.288798°
E134.090882°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114356 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872470855712891 y=0.137546539306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872470855712891 × 217)
    floor (0.872470855712891 × 131072)
    floor (114356.5)     		tx = 114356
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137546539306641 × 217)
    floor (0.137546539306641 × 131072)
    floor (18028.5)     		ty = 18028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114356 / 18028 ti = "17/114356/18028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114356/18028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114356 ÷ 217
    114356 ÷ 131072     		x = 0.872467041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18028 ÷ 217
    18028 ÷ 131072     		y = 0.137542724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872467041015625 × 2 - 1) × π
    0.74493408203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.34027944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137542724609375 × 2 - 1) × π
    0.72491455078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27738622714963
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34027944} λ = 2.34027944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27738622714963))-π/2
    2×atan(9.75115975483425)-π/2
    2×1.46860168018624-π/2
    2.93720336037249-1.57079632675     		φ = 1.36640703
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34027944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.088135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36640703 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.289356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114356 KachelY 18028 2.34027944 1.36640703 134.088135 78.289356
    Oben rechts KachelX + 1 114357 KachelY 18028 2.34032738 1.36640703 134.090882 78.289356
    Unten links KachelX 114356 KachelY + 1 18029 2.34027944 1.36639730 134.088135 78.288798
    Unten rechts KachelX + 1 114357 KachelY + 1 18029 2.34032738 1.36639730 134.090882 78.288798
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36640703-1.36639730) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dl = 61.9898299995545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36640703-1.36639730) × R
    9.72999999993007e-06 × 6371000     		dr = 61.9898299995545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34027944-2.34032738) × cos(1.36640703) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202969206299666 × 6371000     		do = 61.9920200312475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34027944-2.34032738) × cos(1.36639730) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.202978733761286 × 6371000     		du = 61.9949299632631m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36640703)-sin(1.36639730))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.202969206299666-0.202978733761286)×R²
    abs(2.34032738-2.34027944)×9.52746161977935e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.52746161977935e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.52746161977935e-06×40589641000000     		ar = 3842.96497615155m²