Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114355 / 18062
↖ ↑ ↗
← N 78.270387°
E134.085388°		 ← 62.09 m → N 78.270387°
E134.088135°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.269828°
E134.085388°		 ← 62.09 m →
3 857 m²		 N 78.269828°
E134.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18062 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872463226318359 y=0.137805938720703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872463226318359 × 217)
    floor (0.872463226318359 × 131072)
    floor (114355.5)     		tx = 114355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137805938720703 × 217)
    floor (0.137805938720703 × 131072)
    floor (18062.5)     		ty = 18062
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114355 / 18062 ti = "17/114355/18062"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114355/18062.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114355 ÷ 217
    114355 ÷ 131072     		x = 0.872459411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18062 ÷ 217
    18062 ÷ 131072     		y = 0.137802124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872459411621094 × 2 - 1) × π
    0.744918823242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.34023150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137802124023438 × 2 - 1) × π
    0.724395751953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.27575637256255
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34023150} λ = 2.34023150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27575637256255))-π/2
    2×atan(9.73527972696194)-π/2
    2×1.46843614298846-π/2
    2.93687228597691-1.57079632675     		φ = 1.36607596
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34023150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.085388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36607596 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.270387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114355 KachelY 18062 2.34023150 1.36607596 134.085388 78.270387
    Oben rechts KachelX + 1 114356 KachelY 18062 2.34027944 1.36607596 134.088135 78.270387
    Unten links KachelX 114355 KachelY + 1 18063 2.34023150 1.36606621 134.085388 78.269828
    Unten rechts KachelX + 1 114356 KachelY + 1 18063 2.34027944 1.36606621 134.088135 78.269828
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36607596-1.36606621) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36607596-1.36606621) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34023150-2.34027944) × cos(1.36607596) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203293373988314 × 6371000     		do = 62.0910291880119m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34023150-2.34027944) × cos(1.36606621) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203302920377887 × 6371000     		du = 62.0939449011117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36607596)-sin(1.36606621))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203293373988314-0.203302920377887)×R²
    abs(2.34027944-2.34023150)×9.5463895732617e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.5463895732617e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.5463895732617e-06×40589641000000     		ar = 3857.01454086254m²