Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114355 / 18042
↖ ↑ ↗
← N 78.281549°
E134.085388°		 ← 62.03 m → N 78.281549°
E134.088135°		 →
↑
61.99 m
↓
↑
61.99 m
↓
N 78.280991°
E134.085388°		 ← 62.04 m →
3 845 m²		 N 78.280991°
E134.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18042 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872463226318359 y=0.137653350830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872463226318359 × 217)
    floor (0.872463226318359 × 131072)
    floor (114355.5)     		tx = 114355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137653350830078 × 217)
    floor (0.137653350830078 × 131072)
    floor (18042.5)     		ty = 18042
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114355 / 18042 ti = "17/114355/18042"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114355/18042.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114355 ÷ 217
    114355 ÷ 131072     		x = 0.872459411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18042 ÷ 217
    18042 ÷ 131072     		y = 0.137649536132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872459411621094 × 2 - 1) × π
    0.744918823242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.34023150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137649536132812 × 2 - 1) × π
    0.724700927734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27671511055495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34023150} λ = 2.34023150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27671511055495))-π/2
    2×atan(9.74461778516314)-π/2
    2×1.46853354980295-π/2
    2.9370670996059-1.57079632675     		φ = 1.36627077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34023150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.085388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36627077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.281549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114355 KachelY 18042 2.34023150 1.36627077 134.085388 78.281549
    Oben rechts KachelX + 1 114356 KachelY 18042 2.34027944 1.36627077 134.088135 78.281549
    Unten links KachelX 114355 KachelY + 1 18043 2.34023150 1.36626104 134.085388 78.280991
    Unten rechts KachelX + 1 114356 KachelY + 1 18043 2.34027944 1.36626104 134.088135 78.280991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36627077-1.36626104) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000     		dl = 61.9898300009691m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36627077-1.36626104) × R
    9.73000000015212e-06 × 6371000     		dr = 61.9898300009691m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34023150-2.34027944) × cos(1.36627077) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203102628179605 × 6371000     		do = 62.0327705082346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34023150-2.34027944) × cos(1.36626104) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203112155372032 × 6371000     		du = 62.0356803580317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36627077)-sin(1.36626104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203102628179605-0.203112155372032)×R²
    abs(2.34027944-2.34023150)×9.52719242669486e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.52719242669486e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.52719242669486e-06×40589641000000     		ar = 3845.49108890263m²