Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114355 / 18034
↖ ↑ ↗
← N 78.286011°
E134.085388°		 ← 62.01 m → N 78.286011°
E134.088135°		 →
↑
62.05 m
↓
↑
62.05 m
↓
N 78.285453°
E134.085388°		 ← 62.01 m →
3 848 m²		 N 78.285453°
E134.088135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114355 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18034 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872463226318359 y=0.137592315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872463226318359 × 217)
    floor (0.872463226318359 × 131072)
    floor (114355.5)     		tx = 114355
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137592315673828 × 217)
    floor (0.137592315673828 × 131072)
    floor (18034.5)     		ty = 18034
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114355 / 18034 ti = "17/114355/18034"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114355/18034.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114355 ÷ 217
    114355 ÷ 131072     		x = 0.872459411621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18034 ÷ 217
    18034 ÷ 131072     		y = 0.137588500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.872459411621094 × 2 - 1) × π
    0.744918823242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.34023150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.137588500976562 × 2 - 1) × π
    0.724822998046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.27709860575191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34023150} λ = 2.34023150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27709860575191))-π/2
    2×atan(9.74835551593505)-π/2
    2×1.46857248693264-π/2
    2.93714497386528-1.57079632675     		φ = 1.36634865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34023150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.085388°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36634865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.286011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114355 KachelY 18034 2.34023150 1.36634865 134.085388 78.286011
    Oben rechts KachelX + 1 114356 KachelY 18034 2.34027944 1.36634865 134.088135 78.286011
    Unten links KachelX 114355 KachelY + 1 18035 2.34023150 1.36633891 134.085388 78.285453
    Unten rechts KachelX + 1 114356 KachelY + 1 18035 2.34027944 1.36633891 134.088135 78.285453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36634865-1.36633891) × R
    9.7399999998693e-06 × 6371000     		dl = 62.0535399991673m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36634865-1.36633891) × R
    9.7399999998693e-06 × 6371000     		dr = 62.0535399991673m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34023150-2.34027944) × cos(1.36634865) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203026370781119 × 6371000     		do = 62.0094795358713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34023150-2.34027944) × cos(1.36633891) × R
    4.79400000004127e-05 × 0.203035907919138 × 6371000     		du = 62.0123924233084m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36634865)-sin(1.36633891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203026370781119-0.203035907919138)×R²
    abs(2.34027944-2.34023150)×9.53713801962741e-06×R²
    4.79400000004127e-05×9.53713801962741e-06×6371000²
    4.79400000004127e-05×9.53713801962741e-06×40589641000000     		ar = 3847.99809637534m²