Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 114352 / 18064
↖ ↑ ↗
← N 78.269270°
E134.077148°		 ← 62.10 m → N 78.269270°
E134.079895°		 →
↑
62.12 m
↓
↑
62.12 m
↓
N 78.268712°
E134.077148°		 ← 62.10 m →
3 857 m²		 N 78.268712°
E134.079895°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 114352 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18064 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.872440338134766 y=0.137821197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.872440338134766 × 217)
    floor (0.872440338134766 × 131072)
    floor (114352.5)     		tx = 114352
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.137821197509766 × 217)
    floor (0.137821197509766 × 131072)
    floor (18064.5)     		ty = 18064
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 114352 / 18064 ti = "17/114352/18064"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/114352/18064.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 114352 ÷ 217
    114352 ÷ 131072     		x = 0.8724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18064 ÷ 217
    18064 ÷ 131072     		y = 0.1378173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8724365234375 × 2 - 1) × π
    0.744873046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.34008769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1378173828125 × 2 - 1) × π
    0.724365234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.27566049876331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.34008769} λ = 2.34008769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.27566049876331))-π/2
    2×atan(9.73434641344872)-π/2
    2×1.46842639727694-π/2
    2.93685279455388-1.57079632675     		φ = 1.36605647
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.34008769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 134.077148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36605647 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.269270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 114352 KachelY 18064 2.34008769 1.36605647 134.077148 78.269270
    Oben rechts KachelX + 1 114353 KachelY 18064 2.34013563 1.36605647 134.079895 78.269270
    Unten links KachelX 114352 KachelY + 1 18065 2.34008769 1.36604672 134.077148 78.268712
    Unten rechts KachelX + 1 114353 KachelY + 1 18065 2.34013563 1.36604672 134.079895 78.268712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36605647-1.36604672) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dl = 62.1172500001947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36605647-1.36604672) × R
    9.75000000003057e-06 × 6371000     		dr = 62.1172500001947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.34008769-2.34013563) × cos(1.36605647) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203312456956995 × 6371000     		do = 62.0968576172675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.34008769-2.34013563) × cos(1.36604672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.203322003307934 × 6371000     		du = 62.0997733185674m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36605647)-sin(1.36604672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.203312456956995-0.203322003307934)×R²
    abs(2.34013563-2.34008769)×9.54635093922129e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.54635093922129e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.54635093922129e-06×40589641000000     		ar = 3857.37658643035m²